Гёмбёц

Гё́мбёц[1] (от венг. gömböc «сферический») — пример трёхмерного выпуклого тела с одной устойчивой и одной неустойчивой точкой равновесия, построенный в 2006 году венгерскими математиками Габором Домокошем (Domokos Gábor) и Петером Варконьи (Várkonyi Péter).

Гёмбёц — однородное мономоностатическое тело

История открытия
Звёздчатая черепаха — аналог «неваляшки» в живой природе. Будучи перевёрнутой вверх ногами, без особых усилий возвращается в «исходное положение»

Хорошо известен принцип действия популярной детской игрушки «неваляшка» — эффект возвращения в одно и то же состояние достигается за счёт смещения центра тяжести. Благодаря этому у неё есть только одно положение устойчивого равновесия (на основании) и только одно положение неустойчивого равновесия (на голове). «Неваляшка» не является геометрическим телом в строгом смысле в силу своей неоднородной плотности — в нижней части неваляшки находится груз. Для математиков долгое время был интересен вопрос существования выпуклого однородного геометрического тела с аналогичными свойствами. Впервые возможность существования таких тел предположил известный российский математик В. И. Арнольд. Сами же тела получили название мономоностатические.

Поиском «однородной неваляшки» занялись два венгерских математика, Габор Домокош из Будапештского университета технологий и экономики и Петер Варконьи из Принстонского университета. Сначала казалось, что точек равновесия не может быть меньше четырёх: две точки устойчивого и две точки неустойчивого равновесия (для двумерного случая это было давно доказано). Однако в трёхмерном случае удалось сначала доказать существование тела с двумя точками равновесия, а потом, спустя 10 лет работы, и предъявить его пример. Построенное тело получило название «гёмбёц». В буквальном переводе с венгерского это слово значит подобный сфере, сферический (от венг. gömb «сфера»); так называются венгерские круглые мясные пирожки[2].

Свойства

Главным свойством гёмбёца, ради которого его и построили, является возврат к одному и тому же положению из любого другого на ровной плоскости под воздействием силы тяжести. Это свойство достигается благодаря его особой выпуклой, округлой форме. По виду гёмбёц достаточно близок к сфере, из-за чего, очевидно, и получил своё название. В своей работе, посвящённой изучению гёмбёца[3], исследователи так характеризуют само тело и его возможные аналоги:

На основе представленных результатов не может не сложиться впечатление, что мономоностатические тела «прячутся» — их трудно представить, трудно описать и трудно опознать. В частности, мы показали, что их форма не похожа ни на каких типичных представителей других классов равновесия. Мы также показали, что они не плоски и не тонки; по сути, они единственные невырожденные объекты, имеющие одновременно минимальную сплющенность и суженность.

Математическое решение: Эллипс (красным) и его эволюта (синим) с четырьмя вершинами кривой. Каждая вершина соответствует острию на эволюте.

Дальнейшие перспективы

Поверхности гёмбёца имеют сложную скруглённую форму, что и придаёт ему столь необычные свойства. Требования к форме гёмбёца очень жёсткие, допуски выходят порядка 0,1 %. Даже пыль на столе может помешать гёмбёцу встать в устойчивое положение. 3D-печать из-за ступенчатой поверхности не может повторить форму, на поточном производстве не обойтись без жёсткого контроля качества.[4]

Остаётся открытым вопрос: можно ли построить аналогичное тело, все грани которого были бы плоскими? Авторы гёмбёца полагают, что если такой объект существует, то он должен обладать тысячами граней. Этим, видимо, объясняется размер награды, учреждённой ими за его открытие: 10 тысяч долларов, делённые на количество граней[5].

См. также
  • Унистабильный многогранник

Примечания
  1. В венгерском языке главное ударение падает на первый слог
  2. Дарья Моргачёва. Арнольд, гёмбёц и черепаха // ТрВ. — 2015. — 27 января.
  3. Varkonyi P. L., Domokos G. Mono-monostatic bodies: the answer to Arnold’s question Архивная копия от 6 августа 2007 на Wayback Machine // The Mathematical Intelligencer. 2006. V. 28 (4). Pp. 34—38.
  4. Арнольд, гёмбёц и черепаха : Троицкий вариант — Наука
  5. Boffins develop a «new shape» called Gomboc.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.