Группа Ри

Если X является диаграммой Дынкина, Шевалле построил расщепляемые алгебраические группы, соответствующие X, в частности, дающие группы X(F) со значениями в поле F. Эти группы имеют следующие автоморфизмы:

• Любой автоморфизм ${\displaystyle \sigma }$ поля F порождает эндоморфизм ${\displaystyle \alpha _{\sigma }}$ группы X(F)
• Любой автоморфизм ${\displaystyle \pi }$ диаграммы Дынкина порождает автоморфизм ${\displaystyle \alpha _{\pi }}$ группы X(F).

Группы Штейнберга и Группы Шевалле можно построить как фиксированные точки эндоморфизма X(F)для алгебраического замыкания поля F. Для групп Шевалле автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса группы F, в то время как для групп Штейнберга автоморфизм является эндоморфизмом Фробениуса, помноженным на автоморфизм диаграммы Дынкина.

Над полями характеристики 2 группы B₂(F) и F₄(F) и над полями характеристики 3 группы G₂(F) имеют эндоморфизм, квадрат которого является эндоморфизмом ${\displaystyle \alpha _{\varphi }}$, связанным с эндоморфизмом Фробениуса ${\displaystyle \varphi }$ поля F. Грубо говоря, этот эндоморфизм ${\displaystyle \alpha _{\pi }}$ приходит из автоморфизма порядка 2 диаграммы Дынкина, где игнорируется длина корней.

Предположим, что поле F имеет эндоморфизм ${\displaystyle \sigma }$, квадрат которого является эндоморфизмом Фробениуса: ${\displaystyle \sigma _{2}=\varphi }$. Тогда группа Ри определяется как группа элементов g из X(F), таких что ${\displaystyle \alpha _{\pi }(g)=\alpha _{\sigma }(g)}$. Если поле F совершенно, то ${\displaystyle \alpha _{\pi }}$ и ${\displaystyle \alpha _{\varphi }}$ являются автоморфизмами, а группа Ри является группой фиксированных точек инволюции ${\displaystyle \alpha _{\varphi }/\alpha _{\pi }}$ на X(F).

В случае, когда F является конечным полем порядка p^k (с p = 2 или 3), существует эндоморфизм с квадратом Фробениуса в точности, когда k = 2n + 1 нечётно и в этом случае он единственнен. Таким образом, это даёт конечные группы Ри как подгруппы B₂(2²ⁿ⁺¹), F₄(2²ⁿ⁺¹) и G₂(3²ⁿ⁺¹), фиксированные по инволюции.

Связь между группами Шевалле, группами Штейнберга и группами Ри примерно такая. Если дана диаграмма Дынкина X, Шевалле построил групповую схему над целыми числами Z, значения которой над конечными полями являются группами Шевалле. В общем случае можно взять фиксированные точки эндоморфизма ${\displaystyle \alpha }$ группы X(F), где F — алгебраическое замыкание конечного поля, такое, что некоторая степень ${\displaystyle \alpha }$ является некоторой степенью эндоморфизма Фробениуса ${\displaystyle \varphi }$. Возможны три случая

• Для групп Шевалле ${\displaystyle \alpha =\varphi ^{n}}$ для некоторого положительного целого n. В этом случае группа фиксированных точек является группой точек X, определённых конечным полем.
• Для групп Штейнберга ${\displaystyle \alpha ^{m}=\varphi ^{n}}$ для некоторых положительных целых m и n, при этом m делит n и m > 1. В этом случае группа фиксированных точек является также группой точек кручёной (квазирасщеплённой) формы группы X, определённой над конечным полем.
• Для групп Ри, ${\displaystyle \alpha ^{m}=\varphi ^{n}}$ для некоторых положительных целых m, n, при этом m не делит n. На практике m=2 и n нечётно. Группы Ри не задаются как точки некоторой связной алгебраической группы со значениями в поле. Они являются фиксированными точками порядка m=2 автоморфизмов группы, определённой над полем порядка pⁿ с нечётным n и нет соответствующего поля порядка p^n/2.

Группы Ри типа ²B₂ первым нашёл Судзуки[6], используя другой подход, и они обычно называются группами Судзуки. Ри заметил, что их можно построить из групп типа B₂ при использовании варианта построения Стайнберга[7]. Ри понял, что похожее построение можно применить к диаграммам Дынкина F₄ и G₂, что приводит к двум новым семействам конечных простых групп|.

Группы Ри типа ²G₂(3²ⁿ⁺¹) ввёл Ри[1], который показал, что они все просты, за исключением первой группы ²G₂(3), которая изоморфна группе автоморфизмов SL₂(8). Уилсон[8] дал упрощённое построение групп Ри как автоморфизмы 7-мерного векторного пространства над полем с 3²ⁿ⁺¹ элементами, сохраняющими билинейную форму, трилинейную форму и билинейное произведение.

Группа Ри имеет порядок ${\displaystyle q^{3}(q^{3}+1)(q-1)}$, где ${\displaystyle q=3^{2n+1}}$

Мультипликатор Шура тривиален для n ≥ 1 и для ²G₂(3).

Внешняя группа автоморфизмов является циклической и имеет порядок ${\displaystyle 2n+1}$.

Группа Ри иногда обозначается как Ree(q), R(q) или ${\displaystyle \mathrm {E} _{2}^{*}(q)}$

Группа Ри ${\displaystyle ^{2}\mathrm {G} _{2}(q)}$ имеет дважды транзитивное перестановочное представление на ${\displaystyle q^{3}+1}$ точках и действует как автоморфизмы ${\displaystyle \mathrm {S} (2,q+1,q^{3}+1)}$ системы Штейнера. Она также действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, будучи подгруппой G₂(q).

2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8. Теорема Уолтера показывает, что только другие неабелевы конечные простые группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами являются проективными специальными линейными группами в размерности 2 и группами Янко J1. Эти группы сыграли также роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z/2Z × PSL₂(q) и при исследовании групп с централизатором инволюции похожего вида ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \times \mathrm {PSL} _{2}(5)}$ Янко нашёл спорадическую группу J₁. Клейдман[9] обнаружил их максимальные подгруппы.

Группы Ри типа ²G₂ исключительно трудно описывать. Томпсон[10][11][12] изучал эту проблему и смог показать, что структура такой группы определяется некоторым автоморфизмом ${\displaystyle \sigma }$ конечного поля характеристики 3, и если квадрат этого автоморфизма является автоморфизмом Фробениуса, то группа является группой Ри. Он также дал некоторые сложные условия, которым удовлетворяет автоморфизм ${\displaystyle \sigma }$. Наконец, Бомбиери[13] использовал теорию исключения, чтобы показать, что условия Томпсона подразумевает, что ${\displaystyle \sigma ^{2}=3}$ во всех, кроме 178 небольших случаев, которые были исключены с помощью компьютера (Эндрю Одлыжко и Хант). Бомбиери узнал об этой задаче, прочитав статью о классификации Горенстейна[14], который предположил, что кто-то со стороны, не из теоретиков групп, поможет решить эту проблему. Ангеар[15] дал объединённую сводку решения этой проблемы Томпсоном и Бомбиери.

Группы Ри типа ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})}$ ввёл Ри[2]. Они являются простыми, за исключением первой ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}(2)}$, для которой Титс[16] показал, что она имеет простую подгруппу индекса 2, которая теперь известна как группа Титса. Уилсон[17] дал упрощённое построение групп Ри как симметрии 26-мерного пространства над полем порядка 2²ⁿ⁺¹, сохраняющего квадратичную форму, кубическую форму и частичное умножение.

Группа Ри ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}(2^{2n+1})}$ имеет порядок ${\displaystyle q^{12}}$ ${\displaystyle (q^{6}+1)}$ ${\displaystyle (q^{4}-1)}$ ${\displaystyle (q^{3}+1)}$ ${\displaystyle (q-1)}$ где ${\displaystyle q=2^{2n+1}}$. Мультипликатор Шура тривиален. Группа внешних автоморфизмов является циклической с порядком ${\displaystyle 2n+1}$.

Эти группы Ри имеют необычные свойства, такие, что группа Коксетера пары (B, N) не является кристаллографической — это диэдральная группа порядка 16. Титс[18] показал, что все многоугольники Муфанга получаются из групп Ри типа ${\displaystyle ^{2}\mathrm {F} _{4}}$.

• Список конечных простых групп

• ATLAS: Ree group R(27)