Грасгоф, Франц

Франц Грасгоф родился 11 июля 1826 года в семье Елизаветы Софии Доротеи Флорентины Брюггеман (нем. Lisette Sophie Dorothea Florentine Bruggemann) и Карла Грасгофа (нем. Karl Grashof), преподавателя классической филологии в Дюссельдорфской Королевской гимназии. Его дядей был придворный художник Отто Грасгоф. Несмотря на гуманитарное окружение в семье, Франц рано проявил интерес к технике; уже с 15 лет он работал слесарем, посещая после работы ремесленное училище[5].

В октябре 1844 года Франц Грасгоф поступил в Берлинский Королевский коммерческий институт, где изучал математику, физику и машиностроение. Однако в 1847 году Грасгоф, прервав обучение, пошёл на военную службу: год он прослужил добровольцем в стрелковом батальоне, а в 1848—1851 годах служил на флоте матросом и совершил на парусном судне плавания в Нидерландскую Ост-Индию и Австралию. После этого он разочаровался в избранной им было карьере морского офицера (не последнюю роль сыграла близорукость, которой он страдал) и вернулся в Берлин, где с 1852 года продолжал обучение в Королевском коммерческом институте[5][6][7].

В 1854 году Грасгоф окончил Берлинский Королевский коммерческий институт и остался работать в нём, преподавая математику и механику. В 1856 году группа из 23 молодых инженеров, в которую входил и Грасгоф, основали существующее и поныне Общество немецких инженеров (нем. Verein Deutscher Ingenieure)[5][8]. Грасгоф стал редактором журнала «Zeitschrift des VDI», учреждённого этим обществом и издававшегося начиная с 1 января 1857 года; в нём учёный опубликовал и ряд своих статей по различным вопросам прикладной механики[9][10]. В 1860 году Ростокский университет присвоил Францу Грасгофу звание почётного доктора[6].

Памятник Францу Грасгофу в Карлсруэ

В 1863 году после смерти Фердинанда Редтенбахера Грасгоф стал его преемником на посту профессора кафедры прикладной механики и теории машин Политехникума Карлсруэ. Здесь он читал лекции по сопротивлению материалов, гидравлике, термодинамике и конструированию машин, причём — по общему мнению — его лекции отличались точностью и ясностью языка[6][8].

В 1883 году Грасгоф перенёс инсульт, последствия которого существенно ограничили его творческую активность. В 1891 году последовал новый инсульт, от которого учёный так и не оправился[6].

Умер 26 октября 1893 года в Карлсруэ[5].

Основное направление исследований Грасгофа — прикладная механика (в частности, кинематика механизмов). Был сторонником аналитических методов в механике[8]. Из результатов, полученных Грасгофом, в современных учебниках теоретической механики обычно приводится теорема Грасгофа о проекциях скоростей (не всегда — с упоминанием имени автора).

Рассмотрим две точки — ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ — некоторой механической системы, и пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — их текущие положения. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей в общем случае формулируется следующим образом: «Если на точки ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ наложена жёсткая связь, то проекции их скоростей на прямую, соединяющую текущие положения этих точек, равны»:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!A}}\;=\;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{B}}}$ .

Обычно данную теорему применяют к точкам абсолютно твёрдого тела, и в этом случае её формулируют так: «Проекции скоростей двух произвольных точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой»[11].

Приведём доказательство этой теоремы. Достаточно показать, что

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,(\mathbf {v} _{_{B}}-\mathbf {v} _{_{\!A}})\;\equiv \;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!AB}}\;=\;0}$

(здесь ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!AB}}}$ — скорость точки ${\displaystyle B^{*}}$ относительно точки ${\displaystyle A^{*}}$).

Дифференцируя по времени ${\displaystyle t}$ условие жёсткой связи

${\displaystyle (\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {r} _{_{\!AB}})\;=\;\mathrm {const} }$

(представленное в виде условия постоянства скалярного квадрата радиус-вектора точки ${\displaystyle B}$ относительно точки ${\displaystyle A}$), получаем:

${\displaystyle \left(\,{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right)\,+\,\left(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right)\;\equiv \;2\,(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ .

Итак, ${\displaystyle (\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ , то есть ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!AB}}\perp \mathbf {r} _{_{\!AB}}}$ .

Пусть теперь ${\displaystyle \mathbf {e} \,=\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}/\left|\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right|}$ — единичный вектор оси ${\displaystyle AB}$. Имеем:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!AB}}\;=\;(\,\mathbf {e} ,\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;{1 \over \left|\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right|}\,(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ .

Теорема доказана.

Скорости двух точек абсолютно твёрдого тела

${\displaystyle A}$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle V_{A}}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle V_{B}}$

Теорема Грасгофа о проекциях скоростей нередко оказывается полезной при решении конкретных задач кинематики абсолютно твёрдого тела. Вот — типичный пример.

Пусть ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ — точки абсолютно твёрдого тела, ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — углы векторов ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!A}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$ с прямой ${\displaystyle AB}$. Найти ${\displaystyle V_{B}}$, если известны ${\displaystyle V_{A}}$, ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ (жирный шрифт при наборе ${\displaystyle V_{B}}$ не использовался, так что речь идёт о нахождении модуля вектора скорости точки ${\displaystyle B^{*}}$).

Имеем:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!A}}\;=\;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{B}}}$ ,

то есть

${\displaystyle V_{A}\,\cos \,\alpha \;=\;V_{B}\,\cos \,\beta }$ ;

отсюда

${\displaystyle V_{B}\;=\;V_{A}\,{{\cos \,\alpha } \over {\cos \,\beta }}}$ .

Решение задачи найдено. Подчеркнём ещё раз, что мы нашли только модуль вектора ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$. Полностью найти вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$, пользуясь только теоремой Грасгофа, мы бы не смогли.

Так обстоят дела и в общем случае. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей сама по себе не позволяет решать задачи кинематики до конца: всегда требуется какая-либо дополнительная информация.

Грасгоф проявлял большой интерес к сопротивлению материалов и в 1866 году выпустил руководство по данному предмету, переизданное в расширенном виде в 1878 году под названием «Теория упругости и прочности» (нем. Theorie der Elasticität und Festigkeit). Книга стала первой попыткой ввести элементы теории упругости в ориентированный на инженеров курс сопротивления материалов. Причём Грасгоф не ограничивается изложением лишь элементарного сопротивления материалов, но также вводит основные уравнения теории упругости, которыми пользуется при изложении теории изгиба и кручения призматических стержней и теории пластин. В задаче об изгибе стержня Грасгоф находит решения для некоторых форм поперечного сечения, не рассматривавшихся Сен-Венаном. Он продолжает исследования Вейсбаха по изучению сложного напряжённого состояния. В ряде разделов курса Грасгоф находит новые, оригинальные результаты[12].

Грасгоф работал также в области машиноведения. Его главный труд — «Теоретическое машиностроение» (тт. 1—3, 1875—1890 гг.), в котором он развил учение Ф. Рёло о кинематических парах и кинематических цепях[8].

В данном труде Грасгоф рассматривал[13] движение как плоских, так и пространственных механизмов. Анализируя общий случай движения в пространстве, он указывал, что простая замкнутая цепь принуждённого движения с вращательными кинематическими парами должна состоять из семи звеньев, а также обсуждал возможности уменьшения числа звеньев при частных расположениях осей шарниров[14].

В учебниках по теории механизмов и машин часто приводится теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике.

Данная теорема (иногда именуемая также[15] правилом Грасгофа) устанавливает условие существования кривошипа в шарнирном четырёхзвеннике. Речь идёт[16] о плоском механизме из трёх подвижных звеньев (то есть[17] твёрдых тел, образующих механизм) 1, 2, 3 и стойки (неподвижного звена) 0, у которого все звенья соединены между собой вращательными кинематическими парами.

Шарнирный четырёхзвенник

${\displaystyle y}$

${\displaystyle O}$

${\displaystyle {\mathit {1}}}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mathit {2}}}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathit {3}}}$

${\displaystyle C}$

${\displaystyle x}$

Для звеньев плоских механизмов в теории механизмов и машин используют[16] следующую терминологию:

• кривошип — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой и может совершать вокруг оси пары полный оборот;
• коромысло — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой, но не может совершать полный оборот вокруг оси пары;
• шатун — звено плоского механизма, связанное вращательными парами с подвижными его звеньями, но не со стойкой.

Теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике формулируется так: "Наименьшее звено является кривошипом, если сумма длин наименьшего и любого другого звена меньше суммы длин остальных двух звеньев[18] (под «наименьшим» понимается звено минимальной длины).

Поясним данную формулировку. Пусть ${\displaystyle a}$ — длина самого короткого звена (для механизма, изображённого на рисунке, ${\displaystyle a=\left|OA\right|}$), ${\displaystyle d}$ — длина одного из соединённых с ним звеньев, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — длины остальных звеньев механизма.

Предположим сначала, что ${\displaystyle d\,>\,b}$ и ${\displaystyle d\,>\,c}$ (на рисунке, где ${\displaystyle b=\left|AB\right|}$, ${\displaystyle c=\left|BC\right|}$, ${\displaystyle d=\left|OC\right|}$, это именно так). Элементарный геометрический анализ показывает[15], что условием полной проворачиваемости звена наименьшей длины относительно звена длины ${\displaystyle d}$  является выполнение неравенства

${\displaystyle a\,+\,d\;<\;b\,+\,c}$ .

Если же ${\displaystyle d\,<\,b}$ или ${\displaystyle d\,<\,c}$, то данное неравенство тем более будет выполняться. Из этих рассмотрений и следует[15] справедливость теоремы Грасгофа в приведённой выше формулировке (рассмотрение предельного случая, когда неравенство обращается в равенство, мы опускаем).

Применяя правило Грасгофа, удаётся подразделить[19] все шарнирные четырёхзвенники на 3 группы:

• механизм будет кривошипно-коромысловым, если длины его звеньев удовлетворяют правилу Грасгофа и за стойку принято звено, соседнее с наименьшим;
• механизм будет двухкривошипным, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев, и за стойку принято самое короткое звено;
• механизм будет двухкоромысловым, если либо правило Грасгофа не выполнено, либо оно выполнено, но самое короткое звено не соединено со стойкой (то есть оно является шатуном и потому не может быть кривошипом).

Так, изображённый на рисунке шарнирный четырёхзвенник является двухкоромысловым механизмом, поскольку правило Грасгофа для него не выполняется.

Грасгоф работал также в области гидравлики и теплотехники, где изучал, в частности, процессы конвекции. В теории теплопередачи известно названное в его честь число Грасгофа — критерий подобия, определяющий процесс теплообмена при свободном движении в поле гравитации и являющийся мерой соотношения архимедовой (подъёмной) силы, вызванной неравномерным распределением плотности в неоднородном поле температур, и сил межмолекулярного трения[20].