Гипотеза Уиллмора

Пусть ${\displaystyle v:M\to \mathbb {R} ^{3}}$ будет гладким погружением компактной ориентированной поверхности. Пусть дано многообразие M и риманова метрика, порождённая погружением ${\displaystyle v}$. Пусть ${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$ будет средней кривизной (среднее арифметическое главных кривизн κ₁ и κ₂ в каждой точке). В такой нотации энергия Уиллмора W(M) многообразия M задаётся выражением

${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.}$

Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет неравенству ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ с равенством тогда и только тогда, когда многообразие M является вложенной сферой.

Вычисление величины W(M) для нескольких примеров даёт повод предположить, что должна быть граница, лучшая чем ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ для поверхностей с родом ${\displaystyle g(M)>0}$. В частности, вычисление W(M) для тора с различными симметриями привели Уиллмора в 1965 году к следующей гипотезе, которая теперь носит его имя

Для любого тора M, гладко погружённого в R³, выполняется неравенство ${\displaystyle W(M)\geqslant 2\pi ^{2}}$.

В 1982 году Питер Ли и Яу Шинтун доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3}}$ является погружением компактной поверхности, которая не является вложением, то W(M) не менее ${\displaystyle 8\pi }$[4].

В 2012 году Фернанду Кода Маркиш и Андре Невиш доказали гипотезу во вложенном случае с помощью минимаксной теории Альмгрена — Питтса минимальных поверхностей[2][3]. Мартин Шмидт заявил о доказательстве в 2002 году[5], но работу не приняли для публикации ни в один рецензируемый математический журнал (хотя работа не содержала доказательство гипотезы Уиллмора, Шмидт доказал некоторые другие важные гипотезы в работе). До доказательства Маркиша и Невиша гипотеза Уиллмора была уже доказана для многих специальных случаев, таких как трубчатый тор (самим Уилмором) и торы вращения (Лангером и Сингером)[6].

• Thomas J. Willmore. Note on embedded surfaces // Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică. — 1965. — Т. 11B.
• Peter Li, Shing Tung Yau. A new conformal invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces // Inventiones Mathematicae. — 1982. — Т. 69, вып. 2. — doi:10.1007/BF01399507.
• Frank Morgan. Math Finds the Best Doughnut // The Huffington Post. — 2012.
• Fernando C. Marques, André Neves. Min-max theory and the Willmore conjecture // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179. — С. 683–782. — doi:10.4007/annals.2014.179.2.6. — arXiv:1202.6036.
• Martin U. Schmidt. A proof of the Willmore conjecture. — 2002. — arXiv:math/0203224.
• Joel Langer, David Singer. Curves in the hyperbolic plane and mean curvature of tori in 3-space // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1984. — Т. 16, вып. 5. — С. 531–534. — doi:10.1112/blms/16.5.531.