Гипотеза Коллатца
Гипо́теза Ко́ллатца (3n+1 диле́мма, сираку́зская пробле́ма) — одна из нерешённых проблем математики. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки. Названа по имени немецкого математика Лотара Коллатца, сформулировавшего эту задачу 1 июля 1932 года[1].
Формулировка
Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел, называемую сираку́зской после́довательностью. Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число n мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу[2].
Примеры
Например, для числа 3 получаем:
3 — нечётное, 3×3 + 1 = 10
10 — чётное, 10:2 = 5
5 — нечётное, 5×3 + 1 = 16
16 — чётное, 16:2 = 8
8 — чётное, 8:2 = 4 4 — чётное, 4:2 = 2 2 — чётное, 2:2 = 1
Далее, начиная с 1, начинают циклически повторяться числа 1, 4, 2.
Последовательность, начинающаяся числом 19, приходит к единице уже за двадцать шагов:
- 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …
Для числа 27 получаем:
- 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …
Последовательность пришла к единице только через 111 шагов, достигнув в пи́ке значения 9232.
Чи́сла-гра́дины — также распространённое название для совокупности рассмотренных последовательностей. Такое название возникло из-за того, что графики последовательностей (см. иллюстрацию) похожи на траектории движения градин в атмосфере.
Проект «Collatz Conjecture»
В августе 2009 года на платформе BOINC был запущен проект добровольных распределённых вычислений «Collatz Conjecture»[3], целью которого является проверка гипотезы Коллатца на больших числах. Вычислительный модуль проекта может использовать вычислительные мощности современных видеокарт.
Кроме проекта Collatz Conjecture, с августа 2017 года поиском решения этой проблемы стал также заниматься проект распределённых вычислений yoyo@home[4].
По состоянию на апрель 2021 года проверены все натуральные числа до 9 789 690 303 392 599 179 036 включительно[5], и каждое из них продемонстрировало соответствие гипотезе Коллатца.
См. также
- Открытые математические проблемы
- FRACTRAN — эзотерический язык программирования, полный по Тьюрингу, со схожими инструкциями. Показывает, что подобные задачи не имеют алгоритмического решения.
Примечания
- P. Winkler, Mathematical Puzzles: A connoisseur’s collection (A K Peters, 2004, ISBN 978-1-56881-201-4)
- Стюарт, 2015, с. 405.
- Официальный сайт проекта «Collatz Conjecture».
- Сайт проекта «yoyo@home».
- Today's High Steps. boinc.thesonntags.com. Дата обращения: 29 апреля 2021.
Литература
- Хэйес, Брайан. Взлёты и падения чисел-градин // В мире науки (Scientific American, издание на русском языке). — 1984. — № 3. — С. 102—107.
- Стюарт, Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
- Jeff Lagarias. The 3x+1 problem and its generalizations (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1985. — Vol. 92. — P. 3—23.
Ссылки
- последовательность A014682 в OEIS.
- Das Collatz-Problem интерактивные скрипты Юргена Денкерта для решения (3n+1)- и (3n−1)-задач, создаёт последовательность для чисел любой длины, также выдаёт статистику последовательности.
- Collatz Conjecture — проект распределённых вычислений на платформе BOINC по проверке гипотезы Коллатца на больших числах.
- On the 3x + 1 problem — проект распределённых вычислений, основанный Эриком Рузендалем (Eric Roosendaal), по проверке гипотезы Коллатца на больших числах.
- Аналитический подход к проблеме Коллатца. (англ.)
- Реализация сиракузской последовательности на разных языках программирования (на сайте Rosetta Code).