Гипотеза Зарембы
Гипотеза Зарембы — утверждение теории чисел о представлениях несократимых дробей через непрерывные дроби: существует абсолютная константа со следующим свойством: для любого существует такое, что и для разложения[1]:
выполняются неравенства:
- .
В наиболее сильной формулировке фигурирует значение для произвольного и значение для достаточно больших .[2].
Гипотезу выдвинул Станислав Заремба-младший (польск. Stanisław Krystyn Zaremba) в 1972 году. Главный прорыв в её исследовании связан с работой Бургейна и Конторовича (нем. Alex Kontorovich) 2014 года, в которой слабый вариант гипотезы доказан для почти всех чисел. Впоследствии их результаты многократно улучшались.
Мотивация
Исторически гипотеза возникла в связи с поиском оптимального способа численного интегрирования в духе метода Монте-Карло. Через ограничение на неполные частные Заремба оценивал характеристику решётки, описывающую минимальную удалённость её точек от центра координат[3]. Ряд советских математиков также задумывались об этой гипотезе в связи с численным интегрированием, но в печатном виде её нигде не заявляли[4].
Сама постановка задачи связана с диофантовыми приближениями. Для приближения произвольного вещественного числа дробью каноническим мерилом качества считается число , для которого (чем больше , тем лучше приближение). Известно, что рациональные лучше всего приближаются своими подходящими дробями , для которых известна оценка . Поскольку , то при наличии безусловной оценки предыдущая оценка не может быть лучше, чем . Легко получить и аналогичную (с точностью до константы) оценку снизу, поэтому гипотеза Зарембы — это в точности утверждение о существовании несократимых плохо приближаемых дробей с любым знаменателем.[5]
Обобщения
«Алфавиты» значений неполных частных
Часто рассматривается более общий вопрос[6]: как зависят свойства (множества знаменателей , для которых существуют несократимые дроби с условием для всех ) от алфавита (конечного множества натуральных чисел)? В частности, для каких множество содержит почти все или все достаточно большие ?
Гипотеза Хенсли
Хенсли в 1996 году рассмотрел связь ограничений на неполные частные с хаусдорфовой размерностью соответствующих дробей, и выдвинул гипотезу, которая впоследствии была опровергнута[7]:
Множество содержит все достаточно большие числа тогда и только тогда, когда ( — множество дробей из интервала , все неполные частные которых лежат в алфавите , — хаусдорфова размерность.
Контпример[8] построен для алфавита : известно, что , но в то же время .
Бургейн и Конторович предложили более слабую форму этой гипотезы, связанную со знаменателями , на которые наложены дополнительные ограничения. При этом они доказали её плотностную версию для более сильного ограничения, чем [9].
Вычисление хаусдорфовой размерности
Вопрос вычисления хаусдорфовой размерности для алфавитов вида рассматривался в теории диофантовых приближений задолго до гипотезы Зарембы и, видимо, берёт начало с работы 1928 года[10]. В статье, где была предложена гипотеза, Хенсли описал общий алгоритм с полиномиальным временем работы, основанный на следующем результате[11]: для заданного алфавита значение можно вычислить с точностью всего за операций.
Существует гипотеза, что множество значений таких размерностей всюду плотно. Из компьютерных вычислений известно, что расстояние между его соседними элементами по крайней мере не меньше [12].
Для алфавитов из подряд идущих чисел Хенсли получил оценку:
- .
В частности, установлено, что:
- .
Этот факт существенно использовался в доказательстве центрального результата Бургейна и Конторовича[13].
Продвижения
Слабые точные результаты
Нидеррейтер доказал гипотезу для степеней двойки и степеней тройки при и для степеней пятёрки при [14].
Рукавишникова, развивая простой результат Коробова, показала существование для любого дроби с условием , где — функция Эйлера[15].
Плотностные результаты
Наиболее сильным и общим является результат Бургейна и Конторовича:
- ,
то есть что гипотеза Зарембы с параметром верна для почти всех чисел. Их результат касался не только этого алфавита, но и любого другого с условием [16]. Впоследствии их результат был улучшен для и остаточного члена , где — константа[17].
Для более слабых ограничений тот же метод позволяет показать, что множество имеет положительную плотностью. В частности, из дальнейших улучшений известно, что это верно когда , в том числе для [18].
Оценки с хаусдорфовой размерностью
Хенсли показал, что если , то . Позже Бургейн и Конторович улучшили это неравенство до показателя вместо .[19] Для отдельных интервалов значений позже были получены более сильные оценки. В частности, известно, что и что при показатель степени стремится к единице[20].
Общее число дробей над тем или иным алфавитом со знаменателями, не превышающими , с точностью до константы равно [21].
Модулярная версия
Хенсли обнаружил, что знаменатели дробей, удовлетворяющих гипотезе Зарембы, равномерно распределены (с учётом кратности) по любому модулю.[22] Из этого, в частности, следует существование таких дробей со знаменателями, равными нулю (и любому другому знчению) по тому или иному модулю.
Следствие из результата Хенсли (1994): для любого существует функция такая, что для любого : существует несократимая дробь , неполные частные которых ограничены .
При это утверждение было бы эквивалентно гипотезе Зарембы. Позже для простых были получены оценки скорости роста в экстремальных случаях:
- для некоторой константы верно, что [23];
- для любого существует достаточно большое такое, что [24].
Методы исследования
Современные методы, восходящие к статье Бургейна и Конторовича, рассматривают гипотезу Зарембы на языке матриц размера 2x2 и изучают соответствующие свойства матричных групп. Благодаря соотношению подходящих дробей разложение может быть записано как произведение матриц:
- ,
где звёздочками в первой матрице закрыты числа, значение которых не существенно.
Руководствуясь этим, изучается группа, порождённая матрицами вида:
- ,
на наличие в ней матриц с тем или иным значением в нижней правой позиции. Для анализа распределения таких значений используются тригонометрические суммы, а именно — специальные аналоги коэффициентов Фурье[25].
Использование такого инструментария, а также работа фактически со множествами произведений (где элементы множества — матрицы) придаёт задаче арифметико-комбинаторный характер.
Примечания
- Согласно общей теории непрерывных дробей, такое разложение единственно.
- Borosh, Niederreiter, 1983, с. 69
- Niederreiter, 1978, с. 988—989, см. также описание понятия «good lattice points» на с. 986
- Кан, Фроленков, 2014, с. 88
- Коробов, 1963, с. 25, лемма 5
- Bourgain, Kontorovich, 2014, раздел 1
- Hensley, 1996, с. 16, гипотеза 3
- Bourgain, Kontorovich, 2014, см. гипотезу 1.3 и комментарий после неё
- Bourgain, Kontorovich, 2014, гипотеза 1.7, теорема 1.8
- См. второй абзац в Good, 1941
- Hensley, 1996, с. 44, теорема 3
- Jenkinson, 2004, см. обзор вычислительных результатов в разделе 4, а результат о плотности распределения значений в разделе 5
- Bourgain, Kontorovich, 2014, замечание 1.11
- Niederreiter, 1986.
- Moshchevitin, 2012, с. 23, раздел 5.1
- Bourgain, Kontorovich, 2014, замечание 1.20
- Magee, Oh, Winter, 2019, с. 92.
- Кан, 2017.
- Bourgain, Kontorovich, 2014, замечание 1.15, теорема 1.23
- Кан, 2020, см. там же обзор результатов для других значений
- Bourgain, Kontorovich, 2014, замечание 1.13
- Hensley, 1994, с. 54, следствие 3.
- Moshchevitin, Shkredov, 2019, теорема 2
- Shkredov, 2020, теорема 5
- Bourgain, Kontorovich, 2014, с. 142—144
Литература
- I. J. Good. The fractional dimensional theory of continued fractions (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1941. — Vol. 37, iss. 3. — P. 199–228.
- Н. М. Коробов. Теоретико-числовые методы в приближённом анализе. — М.: Физматгиз, 1963. — 224 с.
- H. Niederreiter. Quasi-Monte Carlo methods and pseudo-random numbers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1978. — Vol. 84, iss. 6. — P. 957–1041.
- I. Borosh & H. Niederreiter. Optimal multipliers for pseudo-random number generation by the linear congruential method (англ.) // BIT Numerical Mathematics. — 1983. — Vol. 23. — P. 65–74.
- H. Niederreiter. Dyadic fractions with small partial quotients (англ.) // Monatshefte für Mathematik. — 1986. — Vol. 101. — P. 309–315.
- D. Hensley. The distribution mod of fractions with bounded partial quotients (англ.) // Pacific Journal of Mathematics. — 1994. — Vol. 166, iss. 1. — P. 43–54.
- D. Hensley. A Polynomial Time Algorithm for the Hausdorff Dimension of Continued Fraction Cantor Sets (англ.) // Journal of Number Theory. — 1996. — Vol. 58, iss. 1. — P. 9–45.
- O. Jenkinson. On the density of Hausdorff dimensions of bounded type continued fraction sets: the Texan conjecture (англ.) // Stochastics and Dynamics. — 2004. — Vol. 4, iss. 1. — P. 63–76.
- N. G. Moshchevitin. On some open problems in Diophantine approximation (англ.). — 2012. — arXiv:1202.4539v5.
- J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba’s Conjecture (англ.) // Annals of Mathematics. — 2014. — Vol. 180. — P. 137–196. — arXiv:1107.3776v2.
- И. Д. Кан, Д. А. Фроленков. Усиление теоремы Бургейна–Конторовича // Известия РАН. — 2014. — Т. 78, вып. 2. — С. 87–144.
- И. Д. Кан. Усиление теоремы Бургейна–Конторовича. V // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2017. — Т. 296. — С. 133–139.
- M. Magee, H. Oh, D. Winter. Uniform congruence counting for Schottky semigroups in (англ.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). — 2019. — Vol. 2019, iss. 753. — P. 89–135. — arXiv:1601.03705.
- N. G. Moshchevitin, I. D. Shkredov. On a modular form of Zaremba’s conjecture (англ.). — 2019. — arXiv:1911.07487.
- И. Д. Кан. Усиление одной теоремы Бургейна – Конторовича // Дальневосточный математический журнал. — 2020. — Т. 20, вып. 2. — С. 164–190.
- I. D. Shkredov. Growth in Chevalley groups relatively to parabolic subgroups and some applications (англ.). — 2020. — arXiv:2003.12785.