Биномиальное преобразование

Биномиальное преобразование ${\displaystyle T}$ последовательности ${\displaystyle {a_{n}}}$ в последовательность ${\displaystyle {s_{n}}}$ имеет вид

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.}$

Введём ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n}}$, где ${\displaystyle T}$ — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы ${\displaystyle T_{nk}.}$

Оператор ${\displaystyle T}$ обладает свойством инволюции:

${\displaystyle TT=1}$ или в иных обозначениях ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$,

где

${\displaystyle \delta }$ — символ Кронекера.

Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.}$

Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:

${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$;

${\displaystyle s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}}$;

${\displaystyle s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}}$;

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0},}$

где

${\displaystyle \triangle }$ — оператор дифференцирования: ${\displaystyle \Delta _{h}(f(x))=f(x+h)-f(x).}$

Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:

Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой ${\displaystyle 3^{n-2}(2n^{2}+n)}$, которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой ${\displaystyle n^{2}2^{n-1}}$

Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла ${\displaystyle B_{i}}$:

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}}$

Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.

Пусть ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\\g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\end{matrix}}\right.}$

Тогда

${\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{1-x}}\right).}$

(простая производящая функция)

Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ в формулу для простой производящей функции, то получим

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}$,

что сходится гораздо быстрее изначального ряда.

Можно обобщить это преобразование до вида при ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}.}$

Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции ${\displaystyle _{2}F_{1}}$, получая

${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right).}$

Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть ${\displaystyle 0<x<1}$ имеет цепную дробь ${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}$.

Тогда

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ];\\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{matrix}}\right.}$

Для экспоненциальной функции имеем

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}};\\{\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.\end{matrix}}\right.}$

Тогда

${\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).}$

Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.

• Преобразование Меллина

• John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

• Binomial Transform