Баллистический маятник

Движение системы пуля-маятник запускается с того момента, как в маятник попадает пуля.

Задав ${\displaystyle g}$ как ускорение за счет силы тяжести, и ${\displaystyle h}$ как наивысшую точку маятника, становится возможно рассчитать начальную скорость пули-маятниковой системы, которая использует сохранение механической энергии (кинетическая энергия + потенциальная энергия). Пусть эта начальная скорость обозначается ${\displaystyle v_{1}}$. Предположим, что массы пули и маятника ${\displaystyle m_{b}}$ и ${\displaystyle m_{p}}$ соответственно.

Начальная кинетическая энергия системы ${\displaystyle K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}}$

Принимая начальную высоту маятника в качестве эталона потенциальной энергии ${\displaystyle (U_{initial}=0)}$, конечная потенциальная энергия при остановке системы пуля-маятник ${\displaystyle (K_{final}=0)}$ определяется ${\displaystyle U_{final}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Итак, с помощью сохранения механической энергии мы имеем:[8]

${\displaystyle K_{initial}=U_{final}\,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Вычисление скорости будет выглядеть так: ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Теперь мы можем использовать сохранение импульса для системы пуля-маятник, чтобы получить скорость пули, ${\displaystyle v_{0}}$, прежде чем она ударится о маятник. Приравнивая импульс пули до выстрела к импульсу системы пуля-маятник, как только пуля ударяется о маятник (и используя вдобавок ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$), мы имеем:

${\displaystyle m_{\textrm {b}}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Решение ${\displaystyle v_{0}}$ будет выглядеть так:

${\displaystyle v_{0}={\frac {(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}{m_{\textrm {b}}}}=\left(1+{\frac {m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

• тест с пневматическим пистолетом и пневматической винтовкой
• 
  Crosman 1377: энергия 10,6 джоуля (10 округлённо), начальная скорость 206 м/с.
• 
  Ekol ultimate: энергия 26,6 джоуля (30 округленно), начальная скорость 215 м/с.

В первой книге Робинса были упущены некоторые гипотезы в формуле; например, она не включала поправку для учета удара пули, который не соответствовал центру массы маятника. Обновленная формула, с исправлением этого упущения, была опубликована в «Философских Трудах Королевского общества» в следующем году. Швейцарский математик Леонард Эйлер, не зная об этой поправке, самостоятельно исправил это упущение в своем аннотированном немецком переводе книги.[6] Исправленная формула, появившаяся в издании книги 1786 года, была:

${\displaystyle v=614.58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}}$

где:

• ${\displaystyle v}$ скорость ядра в единицах в секунду
• ${\displaystyle b}$ масса ядра
• ${\displaystyle p}$ масса маятника
• ${\displaystyle g}$ расстояние от оси вращения до центра тяжести
• ${\displaystyle i}$ расстояние от оси вращения до точки удара ядра
• ${\displaystyle c}$ хорд, измеренный лентой, описанный в аппарате Робинса
• ${\displaystyle r}$ радиус или расстояние от оси крепления ленты
• ${\displaystyle n}$ число колебаний, совершаемых маятником за одну минуту

Формула, основанная на вращательной инерции, аналогичная формуле Робинса, была выведена французским математиком Симеоном Дени Пуассоном и опубликована в журнале The Mécanique Physique для измерения скорости пули с помощью отдачи пистолета:

${\displaystyle mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}}}$

где:

• ${\displaystyle m}$ масса пули
• ${\displaystyle v}$ скорость пули
• ${\displaystyle c}$ расстояние от оси до ленты
• ${\displaystyle f}$ расстояние от оси отверстия до точки поворота
• ${\displaystyle M}$ совокупная масса пушки и маятника
• ${\displaystyle b}$ хорда, измеренная лентой
• ${\displaystyle k'}$ радиус от оси вращения до центра масс пушки и маятника (измеряется колебанием, по Робинсу)
• ${\displaystyle g}$ гравитационное ускорение
• ${\displaystyle h}$ расстояние от центра массы маятника до оси вращения

${\displaystyle k'}$ может быть вычислен с помощью уравнения:

${\displaystyle T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2}}{gh}}}}$

Где ${\displaystyle T}$ – это половина частоты колебания.[6]

П. О. Экли описал, как сконструировать и использовать баллистический маятник в 1962 году. Маятник Экли использовал параллелограммную взаимосвязь со стандартизированным размером, что позволяло упрощенно вычислять скорость[9]

Маятник Экли использовал маятниковые рычаги длиной ровно 66,25 дюйма (168,3 см) от опорной поверхности до опорной поверхности и использовал поворотные рычаги, расположенные в середине рычагов, чтобы обеспечить точную установку длины рычага. Экли предложил использовать массу маятника также для различных калибров; 50 фунтов (22,7 кг) для кольцевого воспламенения .22 Hornet, 90 фунтов (40,9 кг) от .222 Remington до .35 Whelen, и 150 фунтов (68,2 кг) для винтовочных калибров "Магнум". Маятник сделан из тяжелой металлической трубы, сваренной с одного конца и упакованной бумагой и песком, чтобы остановить пулю. Открытый конец маятника был покрыт листом резины, чтобы пуля могла войти внутрь и предотвратить утечку материала. [9]

Для использования маятника оснащается устройство, которое измеряет движение горизонтального расстояния колебаний маятника, в виде легкого стержня, которое будет отталкиваться назад задней частью маятника. Стрелок садится на расстоянии минимум 5 м от маятника (тем самым уменьшая воздействие дульного взрыва на маятник), и пуля выстреливается в маятник. Для расчета скорости пули при заданном горизонтальном колебании используется следующая формула:[9]

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}0.2018D}$

где:

• ${\displaystyle V}$ скорость пули, в футах в секунду
• ${\displaystyle Mp}$ масса маятника, в гранах
• ${\displaystyle Mb}$ масса пули, в гранах
• ${\displaystyle D}$ горизонтальное движение маятника, в дюймах

Для более точных расчетов вносится ряд изменений, как в конструкцию, так и в использование маятника. Изменения в конструкции предполагают добавление небольшого ящика поверх маятника. Перед взвешиванием маятника ящик заполняется несколькими пулями измеряемого типа. Для каждого выстрела пуля может быть извлечена из коробки, таким образом, сохраняя массу маятника постоянной. Изменение измерения включает в себя измерение периода маятника. Маятник раскачивается, и число полных колебаний измеряется в течение длительного периода времени, от пяти до десяти минут. Время делится на число колебаний, чтобы получить период. Когда это будет сделано, формула ${\displaystyle C={\frac {pi}{T12}}}$ порождает более точную константу для замены значения 0.2018 в приведенном выше уравнении. Как и выше, скорость пули вычисляется по формуле:[9]

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}CD}$