Базисная функция

Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве.

Используются в вариационном исчислении[B: 1], в анализе сигналов[B: 2], и других приложениях функционального анализа.

В ранних работах в качестве предпочтительного синонима использовался термин координатная функция.[1] Базисная функция может называться также базисным вектором, если базис определен в линейном пространстве.[B: 3]

Общие положения

Наборы базисных функций обладают тем свойством, что все функции из данного функционального пространства (с учётом некоторых ограничений) могут быть представлены как их линейная комбинация.[B: 2][a 1]

В ортогональных функциональных пространствах исходную функцию можно представить набором (вектором) коэффициентов её разложения. Такое свойство позволяет заменять трудоёмкие вычисления в на более простые алгебраические операции непосредственно в функциональном пространстве.[B: 2][a 1]

Примеры

Любая аналитическая функция одного аргумента может быть разложена в сумму степенных функций с различными коэффициентами, то есть разложена в ряд Тейлора.

Если в качестве базисных выбраны гармонические функции, то разложение по ним есть преобразование Фурье.

В качестве ортогонального базиса часто оказывается удобным выбирать функции, широко используемые в математической физике, такие как классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), гипергеометрические и вырожденные гипергеометрические функции.[2]

См. также

Примечания
  1. Эльсгольц, 1969, Гл. 10, § 3. Метод Ритца, с. 397—406.
  2. Дедус и др., 1999, с. 19—30.

Литература

Книги
  1. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
  2. Дедус Ф. Ф., Махортых С. А., Устинин М. Н., Дедус А. Ф. Обобщённый спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. — М.: Машиностроение, 1999. — 356 с. — (Задачи анализа изображений и распознавания образов). — ISBN 5-217-02929-3.
  3. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 4 изд., испр.. — Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. — xii+354 с. — 200 экз. — ISBN 5–86134–103–6.

Статьи
  1. Pankratov A. N. On the implementation of algebraic operations on orthogonal function series (англ.) // Computational mathematics and mathematical physics : журнал. — 2004. — Vol. 44, no. 12. — P. 2017–2023.


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.