Атом (теория меры)

Если есть измеримое пространство ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ и мера ${\displaystyle \mu }$ на этом пространстве, то множество ${\displaystyle A}$ из ${\displaystyle \Sigma }$ называется атомом, если

${\displaystyle \mu (A)>0}$

и для любого измеримого подмножества ${\displaystyle B}$ множества ${\displaystyle A}$ из

${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)}$

следует, что

${\displaystyle \mu (B)=0.}$

• Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10}, и пусть сигма-алгебра ${\displaystyle \Sigma }$ есть множество всех подмножеств X. Определим меру ${\displaystyle \mu }$ множества как его мощность, т. е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом.
• Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle \mu (A)>0}$ существует такое измеримое подмножество B множества A, что

${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой ${\displaystyle \mu (A)>0}$ можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$

такую, что

${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с ${\displaystyle \mu (A)>0,}$ то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

${\displaystyle \mu (B)=b.}$

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. [1] [2] Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ и ${\displaystyle \mu (X)=c}$, то существует функция ${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$, задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех ${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$

${\displaystyle S(t)\subset S(t'),}$

${\displaystyle \mu \left(S(t)\right)=t.}$

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

${\displaystyle \Gamma$ :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},}

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в ${\displaystyle \Gamma }$ имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент ${\displaystyle \Gamma }$ имеет область определения ${\displaystyle [0,c]}$, что и доказывает утверждение.

• Дельта-функция Дирака
• Элементарные события, известные также как события-атомы

1. W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et continues. Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
2. Fryszkowski, Andrzej. Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point Theory and Its Applications) (англ.). — Springer. — P. 39. — ISBN 1-4020-2498-3.

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Real analysis (неопр.). — Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall, 1997. — С. 108. — ISBN 0-13-458886-X.

• Butnariu, Dan; Klement, E. P. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic, 1993. — P. 87. — ISBN 0-7923-2369-6.