Ассортативность

Ассортати́вность, или ассортативное смешивание, это предпочтение узлов сети присоединяться к другим узлам, которые каким-либо образом похожи на них. Хотя конкретная мера сходства может различаться, теоретики сетей часто исследуют ассортативность в терминах степеней узла.[1] Добавление этой характеристики в сетевые модели часто позволяет более точно аппроксимировать поведение многих реальных сетей.

Корреляции между узлами схожих степеней часто обнаруживаются в паттернах смешивания многих наблюдаемых сетей. Например, в социальных сетях узлы имеют тенденцию соединяться с другими узлами со схожими значениями степеней. Эта тенденция обозначается как ассортативное смешивание, или ассортативность. С другой стороны, в технологических и биологических сетях типично наблюдается дизассортативное смешивание, или дизассортативность, поскольку узлы с высокими степенями имеют тенденцию присоединяться к узлам с низкими степенями.[2]

Измерение

Рис. 1: Безмасштабные сети с различными степенями ассортативности: (a) A = 0 (некоррелированная сеть), (b) A = 0,26, (c) A = 0,43, где A обозначает r (коэффициент ассортативности, как он определён в этом подразделе).[3]

Ассортативность часто на практике реализуется как корреляция между двумя узлами. Тем не менее, есть несколько способов оценить такую корреляцию. Две наиболее значимые меры это коэффициент ассортативности и neighbor connectivity (связность соседей). Эти меры более детально рассматриваются ниже.

Коэффициент ассортативности

Коэффициент ассортативности это коэффициент корреляции Пирсона степени между парами соединённых узлов.[2] Положительные значения r обозначают корреляцию между узлами схожих степеней, а отрицательные значения обозначают отношения между узлами разных степеней. В целом, r лежит между −1 и 1. Когда r = 1, о сети говорят, что в ней наблюдаются истинные паттерны ассортативного смешивания (perfect assortative mixing patterns), когда r = 0 сеть неассортативна, а при r = −1 сеть полностью дизассортативна.

Коэффициент ассортативности задаётся формулой: , где это распределение остаточных степеней (remaining degree). Оно фиксирует число рёбер, исходящих из узла, за исключением одного ребра, соединяющего пару. Это распределение получается из распределения степеней как . Наконец, обозначает совместное распределение остаточных степеней двух вершин. Это количество симметрично для ненаправленного графа и следует правилам суммирования: и .

В направленном графе ассортативность входящих степеней (in-assortativity, ) и ассортативность исходящих степеней (out-assortativity, ) измеряют тенденцию узлов соединяться с другими узлами, имеющими схожие с ними входящие и исходящие степени, соответственно.[4][5] Развивая это, можно рассмотреть четыре типа ассортативности (смотрите [4][6]). Принимая условные обозначения той статьи, возможно определить четыре метрики: , , , and . Пусть это одна из словесных пар in/out (например, ). Пусть это число рёбер в сети. Предположим, что мы пронумеровали рёбра сети как . Дано ребро с номером , пусть – это -степень источника (например, хвоста) узловой вершины ребра, а – это -степень целевого узла (т.е. головы) -го ребра. Мы обозначим средние значения чертой, так что и – это средние -степень источников и -степень целей, соответственно; средние берутся по рёбрам сети. Наконец, мы имеем:

Связность соседей (Neighbor connectivity)

Другой способ оценить корреляцию степеней это изучить свойства , или средней степени соседей узла со степенью k.[8] Формально это определяется так: , где – это условная вероятность, что ребро узла со степенью k указывает на узел со степенью k'. Если эта функция возрастает, то сеть ассортативная, поскольку она показывает, что узлы с высокими степенями соединяются, в среднем, с узлами высоких степеней. Напротив, если функция убывает, то сеть дизассортативная, поскольку узлы высоких степеней имеют тенденцию соединяться с узлами более низкой степени. Функцию можно нарисовать на графике (смотрите Рис. 2), чтобы изобразить общую закономерность ассортативности в сети.

Локальная ассортативность

В ассортативных сетях могут быть дизассортативные узлы, и наоборот. Мера локальной ассортативности[9] требуется для выявления таких аномалий в сетях. Локальная ассортативность определяется как вклад, который каждый узел делает в ассортативность сети. Локальная ассортативность в ненаправленных сетях определяется как:

Где – это избыточная степень (excess degree) конкретного узла, – это средняя избыточная степень его соседей, а M – это число связей в сети.

Соответственно, локальная ассортативность в направленных сетях[5] – это вклад узла в направленную ассортативность (directed assortativity) сети. Вклад узла в ассортативность направленной сети определяется как:

Где – это исходящая степень (out-degree) рассматриваемого узла, – входящая степень (in-degree), – средняя входящая степень его соседей (в какие узлы у }-го узла есть ребро) и – это средняя исходящая степень его соседей (из каких узлов у -го узла есть ребро). ,.

Включая масштабирующие члены и , мы обеспечиваем, что уравнение локальной ассортативности для направленной сети удовлетворяет условию .

Далее, в зависимости от того, рассматривается ли входящая степень или исходящая, возможно определения локальную входящую ассортативность (local in-assortativity) и локальную исходящую ассортативность (local out-assortativity) как соответствующие меры локальной ассортативности в направленной сети.[5]

Паттерны ассортативного смешивания в реальных сетях

Исследованы ассортативные паттерны для множества сетей реального мира. Например, на Рис. 3 перечислены значения r для нескольких сетей. Заметим, что социальные сети (первые пять строк) имеют очевидное ассортативное смешивание. С другой стороны, все технологические и биологические сети (средние шесть строк) оказываются дизассортативными. Предполагается, что это из-за того, что большинство сетей имеют тенденцию развиваться, если не ограничены иным способом, в сторону состояния с максимальной энтропией которое обычно дизассортивно.[10]

В таблице также указаны значения r, рассчитанные аналитически для двух моделей сетей:

  1. случайный граф Эрдёша — Реньи;
  2. модель Барабаши — Альберт.

В модели Эрдёша-Реньи, поскольку рёбра располагаются случайно, вне зависимости от степеней вершин, в результате получается, что r = 0 в пределе большого размера графа. Безмасштабная модель Барабаши-Альберт также сохраняет это свойство. Для модели Барабаши-Альберт в особом случае при m=1 (где каждый новый узел присоединяется только к одному из существующих узлов с вероятностью, пропорциональной степени) получаем как в пределе большого .[2]

Приложения

Свойства ассортативности полезны в области эпидемиологии, поскольку они помогают понимать распространение заболеваний или лекарств. Например, удаление части вершин сети может соответствовать исцелению, вакцинации или помещению в карантин индивидов или клеток. Поскольку в социальных сетях наблюдается ассортативное смешивание, заболевания, поражающие индивидов с высокими степенями с большей вероятностью распространятся к другим узлам с высокими степенями. Напротив, в клеточных сетях которые, как биологические сети, вероятно, дизассортивны стратегии вакцинации, специфично направленные на вершины высоких степеней, могут быстро уничтожить эпидемическую сеть.

Структурная дизассортативность

Базовая структура сети может привести к тому, что эти показатели будут указывать на дизассортативность, не соответствующую реальному ассортативному или дизассортативному смешиванию. Особая осторожность должна быть предпринята, чтобы избежать структурной дизассортативности.

См. также

Ссылки

  1. Newman, M. E. J. (27 February 2003). “Mixing patterns in networks”. Physical Review E. American Physical Society (APS). 67 (2): 026126. arXiv:cond-mat/0209450. Bibcode:2003PhRvE..67b6126N. DOI:10.1103/physreve.67.026126. ISSN 1063-651X.
  2. Newman, M. E. J. (28 October 2002). “Assortative Mixing in Networks”. Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 89 (20): 208701. arXiv:cond-mat/0205405. Bibcode:2002PhRvL..89t8701N. DOI:10.1103/physrevlett.89.208701. ISSN 0031-9007. PMID 12443515.
  3. Xulvi-Brunet, R.; Sokolov, I.M. (2005). “Changing correlations in networks: assortativity and dissortativity”. Acta Physica Polonica B. 36 (5): 1431.
  4. Braha, D.; Bar-Yam, Y. (2007). “The statistical mechanics of complex product development: Empirical and analytical results”. Management Science. 53(7): 1127-1145.
  5. Piraveenan, M.; Prokopenko, M.; Zomaya, A.Y. (2008). “Assortative mixing in directed biological networks”. IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics. 9 (1): 66—78. DOI:10.1109/TCBB.2010.80. PMID 20733240.
  6. Foster, Jacob; David V. Foster; Peter Grassberger; Maya Paczuski (June 2010). “Edge direction and the structure of networks”. Proceedings of the National Academy of Sciences. 107 (24): 10815—20. arXiv:0908.4288. Bibcode:2010PNAS..10710815F. DOI:10.1073/pnas.0912671107. PMC 2890716. PMID 20505119.
  7. Lee, Sang Hoon; Kim, Pan-Jun; Jeong, Hawoong (4 January 2006). “Statistical properties of sampled networks”. Physical Review E. American Physical Society (APS). 73 (1): 016102. arXiv:cond-mat/0505232. DOI:10.1103/physreve.73.016102. ISSN 1539-3755.
  8. Pastor-Satorras, Romualdo; Vázquez, Alexei; Vespignani, Alessandro (2001). “Dynamical and Correlation Properties of the Internet”. Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 87 (25): 258701. arXiv:cond-mat/0105161. Bibcode:2001PhRvL..87y8701P. DOI:10.1103/physrevlett.87.258701. ISSN 0031-9007. PMID 11736611.
  9. Piraveenan, M.; Prokopenko, M.; Zomaya, A.Y. (2008). “Local assortativeness in scale-free networks”. EPL (Europhysics Letters). 84 (2): 28002. Bibcode:2008EL.....8428002P. DOI:10.1209/0295-5075/84/28002.
  10. Johnson, Samuel; Torres, Joaquín J.; Marro, J.; Muñoz, Miguel A. (11 March 2010). “Entropic Origin of Disassortativity in Complex Networks”. Physical Review Letters. American Physical Society (APS). 104 (10): 108702. arXiv:1002.3286. Bibcode:2010PhRvL.104j8702J. DOI:10.1103/physrevlett.104.108702. ISSN 0031-9007. PMID 20366458.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.