Модель Барабаши — Альберт

Степенное распределение в модели БА является безмасштабным, точнее подчиняется степенному закону

Распределение степеней модели БА, которое подчиняется степенному закону. В логарифмическом масштабе степенная функция представляет собой прямую линию.[2]

${\displaystyle P\left(k\right)\sim k^{-3}}$

Средняя длина пути в модели БА увеличивается в среднем, как логарифм размера сети. Точная форма имеет двойную логарифмическую поправку[1] и выглядит, как

${\displaystyle \ell \sim {\frac {\ln N}{\ln \ln N}}.}$

Модель БА имеет систематически более короткий средний путь, нежели случайный граф.

Корреляции степеней соединённых узлов развиваются случайным образом в модели БА, из-за особенностей развития сети. Вероятность нахождения связи между узлами со степенями и в модели БА представлена, как

${\displaystyle n_{k\ell }={\frac {4\left(\ell -1\right)}{k\left(k+1\right)\left(k+\ell \right)\left(k+\ell +1\right)\left(k+\ell +2\right)}}+{\frac {12\left(\ell -1\right)}{k\left(k+\ell -1\right)\left(k+\ell \right)\left(k+\ell +1\right)\left(k+\ell +2\right)}}.}$

Конечно же, результат будет другим, если распределение было некоррелированным, ${\displaystyle n_{k\ell }=k^{-3}\ell ^{-3}}$.

Пока нет аналитических значений коэффициента кластеризации модели БА. Коэффициенты кластеризации, полученные эмпирически путём, в общем случае значительно выше для модели БА, нежели для случайных сетей. Коэффициент кластеризации также зависит от размера сети согласно приближенному степенному закону:

${\displaystyle C\sim N^{-0.75}.}$[1]

Это поведение всё же отличается от поведения малых сетей, где кластеризация не зависит от размера сети. В случае иерархических сетей, кластеризация как функция степени узла также подчиняется степенному закону:

${\displaystyle C(k)=k^{-1}.}$

Данные результаты были аналитически получены Дороговцевым, Гольцевым и Мендесом.[3]

Форма спектральной плотности модели БА отличается от полукруглой спектральной плотности случайного графа. Она имеет треугольную форму с вершиной, лежащей значительно выше полукруга, а края убывают по степенному закону.

Модель А сохраняет рост, но не включает принцип предпочтительного присоединения. Вероятность присоединения нового узла к существующим везде одинакова. Конечное распределение степеней в данном случае говорит о том, что рост сам по себе недостаточен для получения безмасштабной структуры.

Модель B сохраняет принцип предпочтительного присоединения, но исключает рост. Модель начинается с фиксированного числа разъединённых узлов и добавляет связи, предпочтительно выбирая точками назначения узлы с высокой степенью. Хотя распределение степеней в начале моделирования выглядит безмасштабным, оно нестабильно, и в конечно итоге становится близко к гауссову, когда сеть приближается к насыщению. Таким образом принцип ПП сам по себе недостаточен для создания безмасштабной структуры.[1]

Провал моделей А и B при получении безмасштабного распределения говорит о том, что рост и ПП одинаково необходимы для воспроизведения стационарного степенного распределения, наблюдаемого в сетях реального мира.