Комплексные сети

Каждый узел сети (node) может быть связан с другими узлами определённым числом связей (links). Связи между узлами могут иметь направление. В этом случае сеть называется ориентированной (directed network). Если связь симметрична для обеих связанных ею узлов, то образованная такими связями сеть называется неориентированной сетью (undirected network). Например, Веб — это ориентированная сеть, а интернет — неориентированная сеть. Иногда вопрос об ориентированности сети не столь тривиален. Например, отношения между людьми. Если считать, что связь существует, если две персоны являются близкими друзьями, то сеть будет неориентированной. Если считать, что связь существует, если одна персона считает себя другом другой, то образованная сеть будет ориентированной. Отдельные виды сложных политических сетей развиваются в международных организациях. Этому посвящена статья А. С. Бояшова, в которой рассмотрены следующие типы сетей: дипломатические (формирующиеся между государствами), институциональные (между международными организациями), организационные (между НКО)[3].

Число связей узла будем называть степенью (degree) узла. Для ориентированных сетей различают исходящую и входящую степени узла (out degree и in degree). Распределение степеней узлов является важной характеристикой сложной сети. Большинство сложных сетей имеют близкое к степенному закону распределение степеней узлов с показателем степени между 2 и 3.

Минимальное число связей, которое необходимо преодолеть, чтобы попасть из узла в узел, называется расстоянием между узлами. Усреднённое расстояние между всеми парами узлов сети, для которых существует путь перехода из одного в другой, называется средним расстоянием между узлами ${\displaystyle d}$. Для большинства комплексных сетей ${\displaystyle d\sim \log(N)}$ , где ${\displaystyle N}$ — количество узлов в сети.

Будем называть два узла соседями, если существует связь между ними. Для комплексных сетей характерно, что два узла, соседних к какому-либо узлу, часто также являются соседями между собой. Чтобы охарактеризовать это явление и был предложен кластерный коэффициент ${\displaystyle C_{i}}$ узла ${\displaystyle i}$. Предположим, что узел имеет степень ${\displaystyle k_{i}}$ , это значит, что у него ${\displaystyle k_{i}}$ соседей и между ними может быть максимум ${\displaystyle k_{i}(k_{i}-1)/2}$ связей. Тогда

${\displaystyle C_{i}={\frac {2n_{i}}{k_{i}(k_{i}-1)}},}$

где ${\displaystyle n_{i}}$ — число связей между соседями узла ${\displaystyle i}$. Очевидно, что всегда ${\displaystyle 0\leqslant C_{i}\leqslant 1}$. Усреднённый кластерный коэффициент узлов называется кластерным коэффициентом сети. Для большинства сложных сетей он существенно больше, чем кластерный коэффициент случайного графа таких же размеров.

В сети возможна ситуация, когда узлы, имеющие большую степень («звёзды»), преимущественно связаны с узлами, имеющими большую степень. Иными словами «звёзды» «предпочитают» быть связанными со «звёздами». Такие сети называют ассортативными. Возможна также обратная ситуация: «звёзды» связаны с другими «звёздами» через цепочки узлов, имеющих малое число соседей. Такие сети называют дисассортативными. Чтобы охарактеризовать это свойство, пользуются коэффициентом ассортативности ${\displaystyle r}$ — так называется коэффициент корреляции Пирсона между степенью соседних узлов. По определению, ${\displaystyle -1\leqslant r\leqslant 1}$. Для ассортативных сетей ${\displaystyle r>0}$, для дисассортативных сетей ${\displaystyle r<0}$. Сети, связанные с общественными явлениями, являются ассортативными. Сети, связанные с биологическими явлениями, чаще дисассортативны. Существуют сети, не имеющие выраженной ассортативности с ${\displaystyle r}$ близким к нулю.