Анализ Фурье

Чаще всего, без уточнения, преобразование Фурье обозначает применение к преобразованию непрерывных функций действительного аргумента, результатом которого является непрерывная функция частоты, известная как распределения частоты. Одна функция переходит в другую, а сама операция является обратимой. Когда областью определения входной (начальной) функции есть время (t), а областью определения исходной (финальной) функции является частота, преобразование функции s(t) при частоте f задается следующим образом:

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi ft}\,dt.}$

Расчет этой величины при всех значениях f образует функцию в частотной области. Тогда s(t) можно представить как рекомбинации комплексных экспонент для всех возможных частот:

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{2i\pi ft}\,df,}$

что является формулой для обралексное число, S( f ), содержит в себе одновременно амплитуду и фазу частоты f.

Преобразование Фурье периодической функции, s_P(t), с периодом P, становится функцией, которая является гребёнкой Дирака, модулированной последовательностью комплексных коэффициентов:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$

для всех целых значений k, и где ∫_P является интегралом в области интервала длиной P.

Обратное преобразование, известное как ряд Фурье, является представлением s_P(t) в терминах суммы потенциально бесконечного числа гармонично связанных синусоид или комплексных экспоненциальных функций, каждая из которых имеет амплитуду и фазу, заданная одним из коэффициентов:

${\displaystyle s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{2i\pi {\frac {k}{P}}t}\quad {\stackrel {\displaystyle {\mathcal {F}}}{\Longleftrightarrow }}\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right).}$

Когда s_P(t) задается как периодическая сумма другой функции, s(t):

${\displaystyle s_{P}(t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

коэффициенты пропорциональны элементам S( f ) для дискретных интервалов P:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$

${\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,S\left({\frac {k}{P}}\right)}}$

Достаточным условием для восстановления s(t) (и таким образом S( f )) только из этих элементов (то есть из ряда Фурье) является то, что ненулевой отсчет s(t) будет ограничен известным интервалом длиной P, с удвоением частотной области в соответствии с теоремой отсчетов Найквиста-Шеннона.