Ёмкость Шеннона

Ёмкость Шеннона (шенноновская ёмкость) — характеристика неориентированного графа, описывающая предельную плотность кодирования с возможностью гарантированного отслеживания ошибок в канале связи, модель которого представляет данный граф.

В этой модели вершины графа соответствуют символам алфавита, а наличие ребра между двумя вершинами означает, что при передаче первый символ может быть заменён на второй, а второй — на первый. Вероятности или частота, с которыми это происходит, в модели не рассматриваются, целью является построение оптимального способа кодирования, устойчивого к сколь угодно непредсказуемым ошибкам такого рода.

Несмотря на "практичную" формулировку, задача определения шенноновской ёмкости того или иного графа на текущий момент носит сугубо теоретический характер.

Мотивация к изучению

Граф

C_{5}

с выделенным максимальным независимым множеством

Пусть по каналу связи передаётся текст, записанный с помощью алфавита из пяти символов: $\{0,1,2,3,4\}$ , причём физически чтение передаваемых символов реализовано через дискретизацию аналогового сигнала (взятие ближайшего из граничных значений). Из-за погрешностей в передаче сигнала могут перепутываться соседние символы, а также последний ( $4$ ) перепутываться с первым ( $0$ ). Граф $G$ , описывающий возможные ошибки этого канала связи, будет циклом длины 5.

Если передавать текст "как есть", то, получив символ $2$ , получатель не сможет понять, был ли передан отправителем символ $2$ или это был переданный отправителем символ $1$ , при передаче которого произошла ошибка и он превратился в символ $2$ .

Такая неоднозначность может возникать всегда когда используются хотя бы два символа, соединённые ребром в графе ошибок. Чтобы этого не происходило, можно выбрать независимое множество вершин этого графа и кодировать текст только с помощью символов, соответствующих этим вершинам. При этом, чтобы информационная ценность каждого символа страдала как можно меньше, уместно брать максимальное по размеру из таких множеств (его размер обозначается как $\alpha (G)$ ).

В рассматриваемом примере, очевидно, $\alpha (G)=2$ и поэтому текст нужно кодировать двумя символами (например, $1$ и $3$ ). Если длина передаваемого текста (количество символов исходного алфавита) равна $n$ , то существует всего $5^{n}$ вариантов этого текста и чтобы закодировать их все символами двубуквенного алфавита понадобится не менее $\log _{2}{(5^{n})}=n\log _{2}5$ бит, то есть размер текста увеличится не менее чем в $\log _{2}5$ раз.

Граф

C_{5}^{2}

c выделенным максимальным независимым множеством

Этот результат можно улучшить если рассматривать не множество ошибок передачи каждого отдельного символа, а ошибки при передаче пары символов. Граф пар символов, которые могут подменяться друг другом (его обозначают как $G^{2}$ ) будет иметь не меньшее число независимости.

В рассматриваемом примере $\alpha (G^{2})=5$ и одно из максимальных независимых множеств - $\{(0,3),(1,0),(2,2),(3,4),(4,1)\}$ . Это означает, что в передаваемом сообщении можно использовать все пять символов, но с условием, что при объединении их в последовательные пары будут образовываться только пары из этого множества (например, текст $00$ использовать нельзя, потому что он может быть образован из текста $10$ , который тоже используется). Если изначально в передаваемом тексте было $n$ символов, то каждый из них можно перевести в одну из этих пар и получить текст длины $2n$ с требуемыми свойствами отслеживания ошибок. Поскольку $2<\log _{2}5$ , то этот способ кодирования эффективнее первого.

Естественным образом возникает вопрос, можно ли улучшить этот результат, рассматривая не пары, а последовательные тройки, четвёрки и бо́льшее количество символов, и какого наилучшего результата можно достичь этим методом. Формализация этого вопроса и приводит к понятию ёмкости Шеннона.

Формальное определение

Для определения ёмкости Шеннона используется вспомогательное определение прямого произведения графов:

$G_{1}\times G_{2}=(V_{1},E_{1})\times (V_{2},E_{2})=(V',E')$ , где

V'=V_{1}\times V_{2}

((v_{1},w_{1}),(v_{2},w_{2}))\in E'\iff ((v_{1},v_{2})\in E_{1}\lor v_{1}=v_{2})\land ((w_{1},w_{2})\in E_{2}\lor w_{1}=w_{2})\land ((v_{1},w_{1})\not =(v_{2},w_{2}))

Это операция с точностью до изоморфизма является ассоциативной и коммутативной, так что можно естественным образом определить степень графа:

G^{k}=G\times G^{k-1}

Определение

Ёмкость Шеннона графа $G$ равна[1]

c(G)=\sup \limits _{n\in {\mathbb {N} }}{\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}

Последнее равенство обусловлено тем, что $\alpha (G\times H)\geq \alpha (G)\alpha (H)$ [2].

Характер сходимости

Достижимость предела

Предел последовательности ${\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}$ достигается не всегда. Например, когда $G$ представляет собой объединение цикла длины 5 ( $C_{5}$ ) и изолированной вершины, то $c(G)={\sqrt {5}}+1$ , но ${\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}<{\sqrt {5}}+1$

Это обусловлено тем, что $\alpha (G^{n})=\sum \limits _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}\alpha ({C_{5}}^{k})}+1$ и $\alpha (C_{5})<c(C_{5})$ , так что аналогичное верно для объединения изолированной вершины с любым графом $H$ , для которого $\alpha (H)<c(H)$

Скорость роста

Актуален вопрос о том, насколько быстро значения $\alpha _{n}={\sqrt[{n}]{\alpha (G^{n})}}$ приближаются к $c(G)$ . В 2006 году Алон и Любецкий показали. что при достаточно большом размере графа конечного числа значений $\alpha _{n}$ недостаточно чтобы узнать $G$ с точностью хотя бы до $|G|^{\varepsilon }\forall \epsilon >0$ . В той же работе они выдвинули несколько гипотез на эту тему.[3]

Теорема

Для любого целого $v$ существует сколь угодно большое $N$ и граф $G$ размера $N$ такие, что

$\alpha _{k}=O(\log N)$ при $k<v$

$\alpha _{v}=N^{\frac {1}{v}}$

Описание конструкции

Группы рёбер в примере Алона-Любецкого. Из каждой группы удаляется одно (случайное) ребро.

Доказательство Алона и Любецкого было вероятностным (то есть конкретной конструкции какого-то одного графа из него вывести нельзя, но существование таковых доказано).

Они рассматривали полный граф из $nv$ вершин ( $n$ - достаточно большое целое), рёбра которого поделены на группы и из каждой группы случайным образом (равновероятно по всем рёбрам группы) удалено одно ребро.

Если индексировать вершины графа парами $(i,k),i\in [1;n],k\in [1;v]$ , то два ребра $((i_{1},k_{1}),(j_{1},l_{1}))$ и $((i_{2},k_{2}),(j_{2},l_{2}))$ относятся к одной группе если:

$i_{1}=i_{2}$
$j_{1}=j_{2}$
$l_{1}-k_{1}=l_{2}-k_{2}$

Визуально это можно представить при изображении графа на торе как объединение в группу рёбер, получающихся друг из друга параллельным переносом по одной прямой (см. картинку).

Оценки и методы изучения

Общих алгоритмов вычисления шенноновской ёмкости по состоянию на 2019 год неизвестно. Это связано не только с тем, что сама задача о числе независимости NP-полна и потому вычислительно трудна, но и с тем, что при вычисленных значениях $\alpha (G^{k})$ для малых $k$ задача предсказания дальнейшего роста этих величин также остаётся нетривиальной.

Более того, неизвестно даже точное значение ёмкости для цикла длины 7 или большей нечётной длины.[4][5] Однако для циклов нечётной длины известен предельный закон[6]:

c(C_{2n+1})=n+{\frac {1}{2}}+o(1)

Число Ловаса

Ласло Ловас в 1979 году показал, что $c(C_{5})={\sqrt {\alpha (C_{5}^{2})}}={\sqrt {5}}$ .[7] Для доказательства он вывел общую верхнюю оценку для ёмкости Шеннона через характеристику системы векторов $(u_{i})_{i\in V}$ , структура которой связана со структурой графа $G=(V,E)$ , а именно

u_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}={\begin{cases}1,&i=j,\\0,&(i,j)\notin E.\end{cases}}

При таком подходе чтобы получить верхнюю оценку достаточно предъявить хотя бы одну систему векторов c нужными свойствами, то есть происходит переход от задачи доказательства к задаче предъявления контрпримера.

В конструкции Ловаса с размером графа должно совпадать только количество векторов, но не размерность пространства. Например, для доказательства $c(C_{5})={\sqrt {5}}$ использовались трёхмерные вектора.

Алгебраические оценки

Haemers получил оценку ёмкости через ранг матриц, похожих по структуре на матрицу смежности, а именно

c(G)\leq R(G)=\min _{B}\operatorname {rank} (B),

где минимум берётся по всем матрицам $B$ размера $n\times n$ в произвольном поле таким, что:

$b_{ii}\not =0$
$(i,j)\not \in E\Rightarrow b_{ij}=0$

Таким образом, для верхней оценки также достаточно предъявить хотя бы одну матрицу $B$ , имеющую малый ранг.[8]

См. также

Задача о независимом множестве

Примечания

Иногда также используется обозначение $\Theta (G)$
Слайды лекции МФТИ "Графовая модель канала связи. Шенноновская ёмкость"
Alon, Noga & Lubetzky, Eyal (2006), The Shannon capacity of a graph and the independence numbers of its powers, IEEE Transactions on Information Theory Т. 52: 2172–2176, DOI 10.1109/tit.2006.872856.
см. например, arXiv:1504.01472, где численное улучшение оценок на них представляется как тема отдельной работы
Shannon capacity of the seven-cycle
Bohman, Tom (2003), A limit theorem for the Shannon capacities of odd cycles, Proceedings of the American mathematical society Т. 131 (11): 3559-3569
Lovász, László (1979), On the Shannon Capacity of a Graph, IEEE Transactions on Information Theory Т. IT-25 (1), DOI 10.1109/TIT.1979.1055985
Haemers, Willem H. (1978), An upper bound for the Shannon capacity of a graph, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai Т. 25: 267–272, <https://pure.uvt.nl/portal/files/997000/UPPER___.PDF>. The definition here corrects a typo in this paper.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Иногда также используется обозначение $\Theta (G)$

[2] Слайды лекции МФТИ "Графовая модель канала связи. Шенноновская ёмкость"

[3] Alon, Noga & Lubetzky, Eyal (2006), The Shannon capacity of a graph and the independence numbers of its powers, IEEE Transactions on Information Theory Т. 52: 2172–2176, DOI 10.1109/tit.2006.872856.

[4] см. например, arXiv:1504.01472, где численное улучшение оценок на них представляется как тема отдельной работы

[5] Shannon capacity of the seven-cycle

[6] Bohman, Tom (2003), A limit theorem for the Shannon capacities of odd cycles, Proceedings of the American mathematical society Т. 131 (11): 3559-3569

[7] Lovász, László (1979), On the Shannon Capacity of a Graph, IEEE Transactions on Information Theory Т. IT-25 (1), DOI 10.1109/TIT.1979.1055985

[8] Haemers, Willem H. (1978), An upper bound for the Shannon capacity of a graph, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai Т. 25: 267–272, <https://pure.uvt.nl/portal/files/997000/UPPER___.PDF>. The definition here corrects a typo in this paper.