U-критерий Манна — Уитни

Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Уилкоксоном (F. Wilcoxon). В 1947 году он был существенно переработан и расширен Г. Б. Манном и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney), по именам которых сегодня обычно и называется.

Простой непараметрический критерий. Мощность критерия выше, чем у Q-критерия Розенбаума.

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны.

1. В каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было два значения, но во второй тогда не менее пяти.
2. В выборочных данных не должно быть совпадающих значений (все числа — разные) или таких совпадений должно быть очень мало (до 10).

Для применения U-критерия Манна — Уитни нужно произвести следующие операции.

1. Составить единый ранжированный ряд из обеих сопоставляемых выборок, расставив их элементы по степени нарастания признака и приписав меньшему значению меньший ранг (при наличии повторяющихся элементов в выборке использовать средний ранг). Общее количество рангов получится равным ${\displaystyle N=n_{1}+n_{2},}$ где ${\displaystyle n_{1}}$ — количество элементов в первой выборке, а ${\displaystyle n_{2}}$ — количество элементов во второй выборке.
2. Разделить единый ранжированный ряд на два, состоящих соответственно из единиц первой и второй выборок. Подсчитать отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки ${\displaystyle R_{1}}$, и отдельно — на долю элементов второй выборки ${\displaystyle R_{2}}$, затем вычислить:

${\displaystyle U_{1}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{1}\cdot (n_{1}+1)}{2}}-R_{1}}$,

${\displaystyle U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{2}\cdot (n_{2}+1)}{2}}-R_{2}}$, если всё вычислено верно, то ${\displaystyle U_{1}+U_{2}=n_{1}\cdot n_{2}.}$,

3. Определить значение U-статистики Манна-Уитни по формуле ${\displaystyle U=\min\{U_{1},U_{2}\}.}$

4. По таблице для избранного уровня статистической значимости определить критическое значение критерия для данных ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$. Если полученное значение ${\displaystyle U}$ меньше табличного или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение ${\displaystyle U}$ больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Достоверность различий тем выше, чем меньше значение ${\displaystyle U}$.

5. При справедливости нулевой гипотезы критерий имеет математическое ожидание ${\displaystyle M(U)=n_{1}n_{2}/2}$ и дисперсию ${\displaystyle D(U)=n_{1}n_{2}(n_{1}+n_{2}+1)/12}$ и при достаточно большом объёме выборочных данных ${\displaystyle (n_{1}>19,n_{2}>19)}$ распределён практически нормально.

• Critical Values for the Mann — Whitney U-Test.
• Расчет критических значений U-критерия Манна — Уитни для выборок больше 20 (N>20)

• Критерий Краскела — Уоллиса — обобщение U-критерия Манна — Уитни на случай нескольких выборок.

• Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947. — № 18. — P. 50—60.
• Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. — 1945. — P. 80—83.
• Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. — Л., 1973.
• Сидоренко Е. В. Методы математической обработки в психологии. — СПб., 2002.