Экстраполятор нулевого порядка

Экстраполятор нулевого порядка — математическая модель, использующаяся при цифро-аналоговом преобразовании для восстановления дискретизованного сигнала в аналоговой форме. Такая модель необходима из-за того, что цифровой сигнал записывается последовательностью дельта-функций x_s(t), каждая из которых представляет собой один отсчёт дискретного сигнала x(nT), из которого восстанавливается непрерывный сигнал x(t). Однако использовать в качестве восстановленного сигнала последовательность импульсов непрактично и зачастую невозможно. Большинство современных цифро-аналоговых преобразователей выдают на выходе напряжение определённого уровня, которое сохраняется до следующего отсчёта.

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Таким образом, экстраполятор нулевого порядка — это гипотетический электронный фильтр, преобразовывающий идеально оцифрованный сигнал

${\displaystyle x_{s}(t)}$ ${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$ ${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

Кусочно-постоянный сигнал x_ZOH(t).

в кусочно-постоянный сигнал

${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\ }$

Импульсная передаточная функция экстраполятора нулевого порядка h_ZOH(t).

имея импульсную передаточную функцию вида

${\displaystyle h_{\mathrm {ZOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}},&0\leq t<T\\0,&t<0;t\geq T\end{cases}}\ }$

где ${\displaystyle \mathrm {rect} (x)\ }$ — прямоугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора нулевого порядка — это преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(f)\,={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}\,={\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}=e^{-i\pi fT}\mathrm {sinc} (fT)\ }$

где ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$ — sinc-функция.

Передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка получают формальной заменой s = i 2 π f:

${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(s)\,={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}\,={\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\ }$