Шарнирная равносоставленность

Шарнирная равносоставленность (или равносоставленность Дьюдени) [1], — вид равносоставленности, в которой части разбиения соединены в цепочку «шарнирами» так, что перекомпоновку от одной фигуры в другую можно осуществить путём непрерывного вращения цепочки без их разъединения[2]. Обычно предполагается, что части могут накладываться во время движения[3], что иногда называется «шаткой» моделью шарнирной равносоставленности[4].

Анимация шарнирноой равносоставленности треугольника в квадрат, а затем в шестиугольник и обратно в треугольник. Заметьте, что цепочка частей квадрата при преобразовании в шестиугольник может быть выстроена в кольцо.

История
Шарнирная равносоставленность треугольника и квадрата.

Идея шарнирной равносоставленности была популяризована автором математических головоломок, Генри Дьюдени. Он построил шарнирную равносоставленность квадрата и треугольника (на рисунке) в его книге 1907 года Кентерберийские головоломки [5].

Теорема Бойяи — Гервина, доказанная в 1807, утверждает, что любые два многоугольника равной площади должны иметь общее разрезание. Однако вопрос, можно ли разрезать так, чтобы это было шарнирным разрезанием, оставался открытым до 2007, когда Эрик Демайн (с соавторами) доказал, что такое разрезание всегда должно существовать, и предложил алгоритм построения разложения[4] [6][7]. Это доказательство верно даже при требовании, что части при движении не накладываются друг на друга во время движения. Доказательство можно обобщить для любой пары равносоставленных многогранников (см. «Третья проблема Гильберта»)[6][8]. В трёхмерном пространстве, однако, не гарантируется, что перемещение можно произвести без наложения[9].

Вариации и обобщения

Рёберно-шарнирная равносоставленность — равносоставленность, при которой шарниром является соединение вдоль ребра (наподобие дверной петли), что позволяет «перекидывать» в трёхмерном пространстве части разрезания [10][11]. К 2002 году вопрос о существовании такоой равносоставленности для любых двух многоугольников оставался открытым[12].

Примечания
  1. Akiyama, Nakamura, 2000, с. 14–29.
  2. Pitici, 2008.
  3. O'Rourke, 2003.
  4. Problem 47: Hinged Dissections. The Open Problems Project. Smith College (8 декабря 2012). Дата обращения: 19 декабря 2013.
  5. Frederickson, 2002, с. 1.
  6. Abbot, Timothy G.; Abel, Zachary; Charlton, David; Erik Demaine; Demaine, Martin L.; Kominers, Scott D. Hinged Dissections Exist (неопр.). — doi:10.1145/1377676.1377695. — arXiv:0712.2094.
  7. Bellos, Alex. The science of fun (30 мая 2008). Дата обращения 20 декабря 2013.
  8. Phillips, 2008.
  9. O'Rourke, 2008.
  10. Frederickson, 2002, с. 6.
  11. Frederickson, 2007, с. 7.
  12. Frederickson, 2002, с. 7.

Литература
  • Tony Phillips. Tony Phillips' Take on Math in the Media. — American Mathematical Society, 2008.
  • Joseph O'Rourke. Computational Geometry Column 50 // ACM SIGACT News. — ACM, 2008. — Т. 39, вып. 1.
  • Timothy G. Abbot, Zachary Abel, David Charlton, Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Scott D. Kominers. Hinged Dissections Exist. — doi:10.1145/1377676.1377695. — arXiv:0712.2094.
  • Jin Akiyama, Gisaku Nakamura. Dudeney Dissections of Polygons // Discrete and Computational Geometry. — 2000. — Т. 1763. — С. 14—29. — doi:10.1007/978-3-540-46515-7_2.
  • Greg N. Frederickson. Bridges 2007 Conference. — The Bridges Organization, 2007.
  • Greg N. Frederickson. Hinged Dissections: Swinging and Twisting. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521811929.
  • Mircea Pitici. Hinged Dissections. Math Explorers Club. Cornell University (2008). Дата обращения: 19 декабря 2013.
  • O'Rourke, Joseph (2003), Computational Geometry Column 44, arΧiv:cs/0304025v1 [cs.CG]
  • Problem 47: Hinged Dissections. The Open Problems Project. Smith College (8 декабря 2012). Дата обращения: 19 декабря 2013.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.