Циклотронная масса

Поверхность Ферми кремния, который является непрямозонным полупроводником, состоит из шести эллипсоидов вращения в k-пространстве. Рассмотрим сечение поверхности Ферми плоскостью XZ такое, что в этой плоскости будут находиться 4 вытянутых эллипса с центрами расположенными на осях на расстоянии ${\displaystyle k_{0}}$. Пусть вектор магнитного поля ${\displaystyle \mathbf {B} }$ лежит в этой плоскости и образует угол ${\displaystyle \theta }$ с осью Z. Анизотропный закон дисперсии для электронов имеет вид

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t}}}+{\frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}}\right),}$

где введены две разные эффективные массы ${\displaystyle m_{t}}$, ${\displaystyle m_{l}}$, называемые соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) с зарядом «-e» в магнитном поле ${\displaystyle \mathbf {B} }$ в отсутствие затухания

${\displaystyle \hbar {\frac {d\mathbf {k} }{dt}}=-e\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — волновой вектор, а скорость частицы ${\displaystyle \mathbf {v} }$ определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}\varepsilon =\left({\frac {\hbar k_{x}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar k_{y}}{m_{t}}},\,{\frac {\hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\right).}$

Теперь распишем покомпонентно закон движения

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{x}}{dt}}=-{\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\cos {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{y}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{x}}{m_{t}}}\cos {\theta }-{\frac {e\hbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}\sin {\theta },}$

${\displaystyle \hbar {\frac {dk_{z}}{dt}}={\frac {e\hbar Bk_{y}}{m_{t}}}\sin {\theta }.}$

Нас будет интересовать только решения вида

${\displaystyle k_{x}=k_{1}e^{i\omega t},\,k_{y}=k_{2}e^{i\omega t},\,k_{z}=k_{0}+k_{3}e^{i\omega t}.}$

Это решение существует при определённой частоте называемой циклотронной, которая зависит от угла:

${\displaystyle \omega _{c}=eB\left({\frac {\sin ^{2}{\theta }}{m_{l}m_{t}}}+{\frac {\cos ^{2}{\theta }}{m_{t}^{2}}}\right)^{1/2}.}$

Здесь можно определить циклотронную эффективную массу как

${\displaystyle m_{c}=eB/\omega _{c}.}$

Видно, что если угол равен нулю, то ${\displaystyle m_{c}=m_{t}}$, а если угол прямой: ${\displaystyle m_{c}={\sqrt {m_{l}m_{t}}}}$.

В общем случае[2] для произвольной поверхности Ферми, например в металлах поверхность Ферми может принимать сложную форму нужно использовать следующую формулу для циклотронной частоты[3]

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {2\pi eB}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{(dA_{k}/d\varepsilon )}}}$

и циклотронной эффективной массы

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}{\frac {dA_{k}}{d\varepsilon }},}$

где ${\displaystyle A_{k}(\varepsilon ,k_{H})}$ — площадь сечения  поверхности Ферми  плоскостью ${\displaystyle {k_{H}}=const}$, ${\displaystyle k_{H}}$ — проекция волнового вектора электрона на направление магнитного поля, ${\displaystyle \varepsilon }$ - энергия электрона.

Для простейшей изотропной параболической зоны (по Ридли) энергию и площадь можно представить в виде следующих функций от волнового вектора :[3]

${\displaystyle \varepsilon _{k}={\frac {\hbar k^{2}}{2m^{*}}}\ }$,

${\displaystyle {{A}_{k}}\left(\varepsilon ,{{k}_{H}}\right)=\pi k_{\bot }^{2}=\pi \left({\frac {2{{m}^{*}}\varepsilon }{{\hbar }^{2}}}-k_{H}^{2}\right)}$.

В этом случае производная от энергии по площади будет иметь простейший вид:

${\displaystyle {\frac {d{{A}_{k}}}{d\varepsilon }}={\frac {2\pi {{m}^{*}}}{{\hbar }^{2}}}}$.

где ${\displaystyle {{k}_{\bot }}}$- величина компоненты волнового вектора, перпендикулярной магнитному полю. Подставляя полученное значение для производной в формулу для эффективной массы, находим:

${\displaystyle m_{c}={\frac {\hbar ^{2}}{2\pi }}\cdot {\frac {dA_{k}}{d\varepsilon }}=m^{*}}$.

Таким образом, в случае простой изотропной параболической зоны мы будем иметь тождественность физических величин - "циклотронной массы" и "эффективной массы". Данное обстоятельство и позволяет в большинстве практических случаев измерять эффективную массу носителей в твердом теле.

В общем случае циклотронная скорость записывается в следующем виде:

${\displaystyle v_{c}=\omega _{c}\cdot r_{c}=eB\cdot {\frac {r_{c}}{m_{c}}}\ }$,

где в случае традиционных техмерных полупроводников циклотронный радиус и масса определяются как:

${\displaystyle r_{c}(Si)={\sqrt {2}}l_{B}\ }$, ${\displaystyle m_{c}(Si)=const.\ }$,

а в случае двумерного графена:

${\displaystyle r_{c}(Si)={\frac {l_{B}}{\sqrt {2}}}\ }$, ${\displaystyle m_{c}(C)=variable\ }$,

где ${\displaystyle l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar }{eB}}}\ }$- магнитная длина. Таким образом, в обычном трехмерном полупроводнике, в котором выполняется условие постоянной эффективной массы, мы будем иметь переменное значение для циклотронной скорости (например, в КЭХ):

${\displaystyle v_{c}(Si)={\sqrt {2}}\omega _{c}l_{B}=variable\ }$.

Другое дело - двумерный графен. Поскольку эффективная масса его носителей изменяется, то его циклотронная скорость всегда постоянна:

${\displaystyle v_{c}(C)={\frac {\omega _{c}l_{B}}{\sqrt {2}}}=v_{B}=const.\ }$

Именно поэтому мы и можем через неё определить и циклотронную частоту:

${\displaystyle \omega _{c}(C)={\sqrt {2}}{\frac {v_{B}}{l_{B}}}}$

и циклотронную массу:

${\displaystyle m_{c}(C)=eB\cdot {\frac {r_{c}(C)}{v_{c}(C)}}={\frac {1}{v_{B}}}{\sqrt {\frac {eB\hbar }{2}}}}$.

Таким образом, за пределами рассмотрения элементов зонной структуры и циклотронной массы, осталась постоянная скорость ${\displaystyle v_{B}}$. Откуда она взялась, и какой её масштаб?

Наиболее точное значение постоянной скорости носителей тока в графене было найдено Диаконом и др.[4] в экспериментах по отклику фотопроводимости на образцах графена с несколькими уровнями Ландау. Это экспериментальное значение скорости для различных уровней Ландау находилось в диапазоне значений:

${\displaystyle v_{B.exp}=(1.069\div 1.118)\cdot 10^{6}m/s}$.

Основной особенностью графена является то, что в отсутствие внешних полей в нём присутствует только одна пара квазичастиц, которая занимает всю двумерную площадь графена.

• Циклотронный резонанс

1. Hook J. R., Hall H. E. Solid State Physics. — 2-nd ed.. — Chichester: John Wiley & Sons, 1997. — С. 158-159. — 474 с. — ISBN 0-471-92805-4.
2. Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — Москва: Мир, 1986. — С. 63-64. — 304 с. — ISBN УДК 537.33+535.2.

• Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429