Функция Жуковского

Функция Жуковского — конформное отображение, используемое для понимания некоторых принципов профиля крыла. Названа в честь Николая Жуковского, русского учёного, создателя аэродинамики.

Пример действия функции Жуковского — окружность сверху переведена в профиль крыла самолёта.

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости $f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C}$ с формулой

f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).

Она относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского.

Применение её в аэродинамике основано на том факте, что функция Жуковского отображает окружность на некую замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла в разрезе. Вариацией радиуса и положения круга относительно $0$ можно менять угол изгиба и толщину крыла.

Расчёт потенциального потока для окружности (в двумерном случае) выполняется достаточно просто. Далее можно применить к результату преобразование Жуковского и получить потенциальный поток для профиля крыла, соответствующего данной окружности. И на основании его делать выводы о подъёмной силе, сопротивлении…

Преобразование Кармана — Трефтца

Для более тонкого построения применяется представление функции Жуковского в виде суперпозиции трёх функций, в каждой из которых может присутствовать некий параметр. Вкупе с вариацией отображаемого круга так называемая обобщенная функция Жуковского или преобразование Кармана — Трефтца представляет собой мощный инструмент для моделирования:

f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)=S_{3}(S_{2}(S_{1}(z))),

где

S_{3}(z)={\frac {1+z}{1-z}},

S_{2}(z)=z^{2},

S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1}}.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.