Функции Крылова
Функции Крылова (функции Крылова — Дункана[1]) — система из четырёх функций, представляющих собой общее решение дифференциального уравнения:
-
.
(1)
Общее решение уравнения (1) при выражается как линейная комбинация четырёх функций:
- ,
где .
Обычно в качестве функций , , , используются , , и , но в задачах теории упругости используются функции , , , специального вида, называемые функциями Крылова в честь математика А. Н. Крылова, который применил эти функции для описания изгиба балки, лежащей на упругом основании[2]. Иногда их обозначают символами , , , [3].
Определение
Функции Крылова выражаются следующим образом:[3]
- ,
- ,
- ,
- .
Основное свойство функций Крылова в том, что производная от любой из них даёт предыдущую:
- .
Кроме того выполнены следующие начальные условия: при , первая функция равна 1, а все остальные равны 0:
- , .
Функции Крылова — Власова
При решение уравнения (1) выражается через функции
- ,
- ,
- ,
- ,
которые называются функциями Крылова — Власова[4] в честь В.З. Власова. Общим решением уравнения (1) при является линейная комбинация четырёх функций (при ), где .
Чаще при решении задач используются различные комбинации функций Крылова — Власова, которые также называют функциями Крылова:[5][6]
- ,
- ,
- ,
- .
Основные свойства функций Крылова в этом случае почти сохраняются:
- .
- , .
Примечания
- I. A. Karnovsky, O. Lebed. 14.4.3 Krylov-Duncan method // Advanced Methods of Structural Analysis. — 201. — С. 543-545. — 593 с.
- Ю.И. Виноградов. Функции Коши—Крылова в расчетах на прочность пластин и оболочек // Известия высших учебных заведений. — 2013. — № 8. — С. 15-19.
- Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. — М.: Высшая школа, 1980. — С. 150. — 408 с. Архивированная копия (недоступная ссылка). Дата обращения: 10 декабря 2011. Архивировано 13 апреля 2013 года.
- Фрейдин А.С. Прочность и долговечность клеевых соединений. — 2-е перераб. и доп.. — М.: Химия, 1981. — С. 96-97. — 272 с.
- Бояршинов С.В. §3. Короткие осесимметричные нагруженные цилиндрические оболочки // Основы строительной механики машин. — М.: Машиностроение, 1973. — С. 326. — 456 с.
- Колосова Г.С. Применение функций Крылова А. Н. для решения задач строительной механики // Строительство уникальных зданий и сооружений. — 2013. Архивировано 2 февраля 2017 года.
Литература
- Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л.: АН СССР, 1931. 154 с