Формула поворота Родрига

Без потери общности, направим ось ${\displaystyle {\vec {z}}}$ вдоль единичного вектора ${\displaystyle {\vec {e}}}$, а вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$ — лежащим в плоскости OXZ, тогда:

${\displaystyle {\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{1z}}$

${\displaystyle {\vec {R}}_{1y}=0}$

${\displaystyle {\vec {R}}_{1z}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}}$

Откуда:

${\displaystyle {\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}}$

Положим вектор ${\displaystyle {\vec {w}}}$, равный:

${\displaystyle {\vec {w}}={\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}}$

Заметим, что:

${\displaystyle |{\vec {w}}|=|{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}|=|{\vec {e}}|\,|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi \ =|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi }$

${\displaystyle |{\vec {R}}_{1x}|=|{\vec {R}}_{1}|\cos(\pi /2-\phi )=|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi .}$

Тогда вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{2x}}$ можно выразить через векторы ${\displaystyle {\vec {w}}}$ и ${\displaystyle {\vec {R}}_{1x}}$ и угол ${\displaystyle \chi }$:

${\displaystyle {\vec {R}}_{2x}={\vec {R}}_{1x}\cos \chi +{\vec {w}}\sin \chi =({\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi }$

Результирующий вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{2}}$ выражается через векторы ${\displaystyle {\vec {R}}_{2x}}$ и ${\displaystyle {\vec {R}}_{1z}}$:

${\displaystyle {\vec {R}}_{2}={\vec {R}}_{2x}+{\vec {R}}_{1z}=({\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}}$

Приведя подобные, получим формулу поворота Родрига:

${\displaystyle {\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e}}+({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi }$

Векторное умножение на вектор k можно представить в виде умножения на матрицу K:

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {K} \mathbf {v} \,.}$

Вектор v при повороте вокруг единичного вектора k перейдет в вектор

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {R} \mathbf {v} \,,}$

где ${\displaystyle \mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\,.}$

Таким образом получается, что матрица поворота вокруг единичного вектора k на угол ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}~.}$

где

${\displaystyle \mathbf {K} =\left[{\begin{array}{ccc}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\end{array}}\right]~.}$

• Лурье А. И.  Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961. — 824 с. — С. 101—103.
• Rodrigues O.  Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’une système solide dans l’espace et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Liouvillés Journ. Math.. — 1840. — Vol. 5. — P. 380—440.