Формула Фаа-ди-Бруно

Формула Фаа-ди-Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно в 1855 году), хотя реально первооткрывателем этой формулы является Луи Франсуа Антони Арбогаст, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации[1] на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\dots +m_{n})}{\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{j=1}^{n}{\big (}g^{(j)}(x){\big )}^{m_{j}},

где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m₁, …, m_n), удовлетворяющих ограничению

1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.

Иногда, для лучшего запоминания, формула записывается в виде

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\dots +m_{n})}{\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}},

однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации.

Суммируя члены с фиксированным значением m₁ + m₂ + … + m_n = k и заметив, что m_j должен быть равен нулю при j > n − k + 1, можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла B_n,k(x₁, …, x_n−k+1):

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}{\big (}g(x){\big )}\cdot B_{n,k}{\big (}g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x){\big )}.

Комбинаторная форма

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f{\big (}g(x){\big )}=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{{\big (}|\pi |{\big )}}{\big (}g(x){\big )}\cdot \prod _{B\in \pi }g^{{\big (}|B|{\big )}}(x),

где

π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },

B ∈ π означает, что переменная B пробегает части разбиения π,

|A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).

Пример

Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:

{\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)&=f''''{\big (}g(x){\big )}g'(x)^{4}+6f'''{\big (}g(x){\big )}g''(x)g'(x)^{2}+{}\\&+3f''{\big (}g(x){\big )}g''(x)^{2}+4f''{\big (}g(x){\big )}g'''(x)g'(x)+{}\\&+f'{\big (}g(x){\big )}g''''(x).\end{aligned}}

Все действия выполняются по следующем образцу:

{\begin{alignedat}{4}g'(x)^{4}&\leftrightarrow {}&1+1+1+1&\leftrightarrow {}&f''''{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow {}&1,\\g''(x)g'(x)^{2}&\leftrightarrow &2+1+1&\leftrightarrow &f'''{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &6,\\g''(x)^{2}&\leftrightarrow &2+2&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &3,\\g'''(x)g'(x)&\leftrightarrow &3+1&\leftrightarrow &f''{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &4,\\g''''(x)&\leftrightarrow &4&\leftrightarrow &f'{\big (}g(x){\big )}&\leftrightarrow &1.\end{alignedat}}

Множитель $g''(x)g'(x)^{2}$ очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель $f'''{\big (}g(x){\big )}$ показывает, что имеется 3 слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно 6 разбиений множества из 4 элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель $g''(x)^{2}$ в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а $f''{\big (}g(x){\big )}$ указывает на то, что в этом разбиении должно быть 2 слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только ${\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3$ способа разбить 4 элемента на группы размера 2.

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

Коэффициенты формулы Фаа-ди-Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество разбиений множества размера n, соответствующих разбиению числа n:

n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}+\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}+\underbrace {3+\cdots +3} _{m_{3}}+\cdots

равно

{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_{2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Примечания

Arbogast, L. F. A. Du calcul des derivations (неопр.). — Strasbourg: Levrault, 1800.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Faa di Bruno's Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Конспект лекции о формуле Фаа ди Бруно с примерами.
В. А. Кудрявцев. Общая формула для производной n-го порядка степени некоторой функции // Математическое Просвещение. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — Вып. 1. — С. 24—27.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Arbogast, L. F. A. Du calcul des derivations (неопр.). — Strasbourg: Levrault, 1800.