Формула Фаа-ди-Бруно

Формула Фаа-ди-Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно в 1855 году), хотя реально первооткрывателем этой формулы является Луи Франсуа Антони Арбогаст, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации[1] на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:

где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m1, …, mn), удовлетворяющих ограничению

Иногда, для лучшего запоминания, формула записывается в виде

однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации.

Суммируя члены с фиксированным значением m1 + m2 +  + mn = k и заметив, что mj должен быть равен нулю при j > n  k + 1, можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла Bn,k(x1, …, xnk+1):

Комбинаторная форма

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

где

π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },
B ∈ π означает, что переменная B пробегает части разбиения π,
|A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).

Пример

Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:

Все действия выполняются по следующем образцу:

Множитель очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель показывает, что имеется 3 слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно 6 разбиений множества из 4 элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а указывает на то, что в этом разбиении должно быть 2 слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только способа разбить 4 элемента на группы размера 2.

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

Коэффициенты формулы Фаа-ди-Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество разбиений множества размера n, соответствующих разбиению числа n:

равно

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Примечания

  1. Arbogast, L. F. A. Du calcul des derivations (неопр.). — Strasbourg: Levrault, 1800.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.