Полиномы Белла

Для n = 6, k = 2 мы имеем

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

потому что есть

• 6 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 5 + 1,
• 15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 2,
• 10 способов разбить множество мощности 6 на подножества мощностей 3 + 3.

Аналогично,

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

потому что есть

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 4 + 1 + 1,

60 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 3 + 2 + 1, and

15 способов разбить множество мощности 6 на подмножества мощностей 2 + 2 + 2.

Значение полинома Белла B_n,k(x₁, x₂, …), где все x_i равны 1 является числом Стирлинга второго рода:

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

Сумма

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}}$

есть n-е число Белла (количество разбиений множества мощности n).

Для последовательности x_n, y_n, n = 1, 2, …, определёна свёртка:

${\displaystyle (x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

(Заметим, что пределы суммирования здесь 1 и n − 1, а не 0 и n.)

Положим, что ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }}$ есть n-й член последовательности

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {factors} }.}$

Тогда

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.}$

Для примера вычислим ${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$. Так как

${\displaystyle x=(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4},\ldots ),}$

${\displaystyle x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\ldots ),}$

${\displaystyle x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0,\ 0,\ 6x_{1}^{3},\ 36x_{1}^{2}x_{2},\ldots ),}$

то

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

Формула Фаа-ди-Бруно может быть сформулирована в терминах полиномов Белла следующим образом:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

Кроме того, мы можем использовать полиномы Белла, если

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad }$ и ${\displaystyle \qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n},}$

то

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}.}$

В частности, полные полиномы Белла появляются в разложении экспоненты формального степенного ряда

${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.}$

Сумма

${\displaystyle B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}$

есть n-й момент распределения вероятностей, первые n кумулянтов которых равны κ₁, …, κ_n. Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах.

Для заданной последовательности чисел a₁, a₂, a₃, … положим

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}$

Тогда эта последовательность полиномов имеет биномиальный тип, т.е. она удовлетворяет биномиальным условиям

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$ для n ≥ 0.

Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа представляются в таком виде.

Eсли мы рассмотрим

${\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}$

как формальный степенной ряд, то для всех n,

${\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$