Формула Виета для приближения числа π

Формула Виета для приближения числа π — бесконечное произведение вложенных радикалов:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$.

Первое известное явное представление числа ${\displaystyle \pi }$ с бесконечным числом операций[1]; открыто французским математиком Франсуа Виетом в 1593 году.

Доказать равенство можно следующим образом: применив тождество ${\displaystyle \sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi }$ рекурсивно и перейдя к пределу:

${\displaystyle \sin \varphi =2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}=}$${\displaystyle 4\sin {\frac {\varphi }{4}}\cos {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}=\langle \cdots \rangle }$${\displaystyle =2^{n}\sin {\frac {\varphi }{2^{n}}}\cos {\frac {\varphi }{2}}\cdot \ldots \cdot \cos {\frac {\varphi }{2^{n}}}}$${\displaystyle \to \varphi \cos {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdot \ldots }$

Получается:

${\displaystyle \varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .}$

Остаётся подставить ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ и воспользоваться формулой половинного угла:

${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2\cos \alpha }}}$.

Формула Виета может быть также представлена как предельное выражение:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}}$

${\displaystyle a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}}$

${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$