Упорядоченное кольцо

Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ (меньше или равно) со следующими свойствами[1].

1. Рефлексивность: ${\displaystyle x\leqslant x}$.
2. Транзитивность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$, то ${\displaystyle x\leqslant z}$.
3. Антисимметричность: если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$, то ${\displaystyle x=y}$.
4. Линейность: все элементы ${\displaystyle F}$ сравнимы между собой, то есть либо ${\displaystyle x\leqslant y}$, либо ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:

5. Если ${\displaystyle x\leqslant y}$, то для любого z: ${\displaystyle x+z\leqslant y+z}$.
6. Если ${\displaystyle 0\leqslant x}$ и ${\displaystyle 0\leqslant y}$, то ${\displaystyle 0\leqslant xy}$.

Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо ${\displaystyle R}$ называется упорядоченным[2].

• Кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу ${\displaystyle k}$ (не обязательно целому).
• Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами.
• Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[3][4].

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle y\leqslant x}$.

Отношение больше: ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x\geqslant y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$.

Отношение меньше: ${\displaystyle x<y}$ означает, что ${\displaystyle y>x}$.

Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.

Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца ${\displaystyle R}$ часто обозначается через ${\displaystyle R_{+}.}$

Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.

Для всех ${\displaystyle x,y,z\in R}$ имеют место следующие свойства.

• Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если ${\displaystyle x}$ положителен, то ${\displaystyle -x}$ отрицателен, и наоборот.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle x'\leqslant y'}$, то ${\displaystyle x+x'\leqslant y+y'}$.

• Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:

Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle z\geqslant 0}$, то ${\displaystyle zx\leqslant zy}$.

• Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
• Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
  • Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен)[5].
  • Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда ${\displaystyle 1>0}$ (так как 1 есть квадрат самой себя)[4].
• Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
• Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел[6].

• Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить.
• Конечные поля.
• p-адические числа.

Определим абсолютную величину элемента ${\displaystyle x:}$

${\displaystyle |x|=\max(x,-x)}$

Здесь функция ${\displaystyle \max }$ осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех ${\displaystyle x,y}$ из кольца)[7].

• ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$.
• Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0}$.
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|{-x}|}$
• Неравенство треугольника: ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}$.
• Мультипликативность: ${\displaystyle |xy|=|x||y|.}$
• ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y}$

Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:

• Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным, то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка[8].
• Вместо кольца имеется полукольцо, то есть в нём, вообще говоря, нет вычитания[9]. Пример: натуральный ряд, расширенный нулём.

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 271—272. — 299 с.
• Нечаев В. И. 6.4. Линейно упорядоченные кольца и тела // Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — С. 90—94. — 199 с.

• Ordered ring на сайте PlanetMath  (англ.).