Тригонометрическая формула Виета

Тригонометрическая формула Виета — один из способов решения кубического уравнения

Первым решение этого уравнения нашел Никколо Тарталья, Джероламо Кардано опубликовал его решение в 1545 году под своим именем (см. формула Кардано). Однако формула Виета более удобна для практического применения[уточнить], ибо позволяет обойтись без мнимых величин.

Формула

  • Вычисляем
  • Вычисляем
  • Вычисляем
  • Если , то вычисляем и имеем три действительных корня:
  • Если , то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны следующие случаи в зависимости от знака :
    • :
      (действительный корень)
      (пара комплексных корней)
    • :
      (действительный корень)
      (пара комплексных корней)
    • :
    (действительный корень)
    (пара комплексных корней)
  • Если , то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

Вывод формулы

  • Исходный многочлен имеет вид .
  • Подстановкой приводим многочлен к виду , где и .
  • Ищем решение уравнения в виде , получаем уравнение .
  • Заметим что в случае при это уравнение приобретает вид .
  • Используя тригонометрическое тождество приходим к уравнению вида .
  • Решение этого уравнения имеет вид , где пробегает значения 0, 1, -1. При условии, что .
  • Подставляя полученные значения в выражение для переменной , получаем ответ


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.