Треугольник Хосойя

Треугольник Фибоначчи или треугольник Хосойя — это треугольник, составленный из чисел (подобно треугольнику Паскаля) на основе чисел Фибоначчи. Каждое число является суммой двух чисел выше по левой или правой диагонали (например, соотношения 16 + 24 = 40 = 15 + 25 выделены на диаграмме ниже). Первые несколько строк треугольника:

                                                1
                                             1     1
                                          2     1     2
                                       3     2     2     3
                                    5     3     4     3     5
                                 8     5     6     6     5     8
                             13     8    10     9    10     8    13
                          21    13    16    15    15    16    13    21
                       34    21    26    24    25    24    26    21    34
                    55    34    42    39    40    40    39    42    34    55
                 89    55    68    63    65    64    65    63    68    55    89
             144    89   110   102   105   104   104   105   102   110    89   144
                                             И т. д.

(См. последовательность A058071 в OEIS).

Название

Предпочтительным является название «треугольник Хосоя», в честь японского химика и математика Харуо Хосоя, который первым предложил такой треугольник в 1976 году[1]. Название «треугольник Фибоначчи» может привести к путанице, так как оно использовалось для обозначения других математических объектов в более поздних работах[2][3].

Рекуррентное соотношение

Числа в этом треугольнике удовлетворяют рекуррентным формулам

H(0, 0) = H(1, 0) = H(1, 1) = H(2, 1) = 1

и

H(n, j) = H(n − 1, j) + H(n − 2, j)
= H(n − 1, j − 1) + H(n − 2, j − 2).

Связь с числами Фибоначчи

Элементы треугольника удовлетворяют тождеству

H(n, i) = F(i + 1) × F(n − i + 1).

Две крайние диагонали являются числами Фибоначчи, числа же в среднем вертикальном столбце являются квадратами чисел Фибоначчи. Все другие числа треугольника представляются в виде произведения двух различных чисел Фибоначчи, больших единицы. Суммы по строкам треугольника дают элементы свёрнутой последовательности Фибоначчи.

Примечания
  1. Haruo Hosoya (1976), «Fibonacci Triangle», The Fibonacci Quarterly, vol. 14, no. 2, p. 173—178.
  2. Brad Wilson (1998), «The Fibonacci triangle modulo p». The Fibonacci Quarterly, vol. 36, no. 3, p. 194—203.
  3. Ming Hao Yuan (1999), «A result on a conjecture concerning the Fibonacci triangle when k=4» (In Chinese). Journal of Huanggang Normal University, vol. 19, no. 4, p. 19—23.

Литература
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.