Теорема о петле

Обозначим через ${\displaystyle D^{2}}$ единичный диск на плоскости.

Пусть ${\displaystyle M}$ трёхмерное многообразие с непустым краем ${\displaystyle \partial M}$ и

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)}$

есть отображение пары, то есть ${\displaystyle f\colon D^{2}\to M}$ есть непрерывное отображение, такое, что образ ${\displaystyle f(\partial D^{2})\subset \partial M}$. Предположим, что сужение ${\displaystyle f|_{\partial D^{2}}}$ не стягивается в ${\displaystyle \partial M}$. Тогда существует вложение

${\displaystyle h\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)}$

с тем же свойством.

• С. Д. Папакирьякопулос. О лемме Дена и асферичности узлов // Математика. — 1958. — Т. 2, № 4. — С. 23—47.
• Hatcher, Notes on basic 3-manifold topology], (Loop thorem).