Теорема о конце света

Готт предложил конкретную формулу для априорного распределения числа людей, которые когда-либо родятся (N). DA по версии Готта использует неопределённое априорное распределение:

${\displaystyle P(N)={\frac {k}{N}},}$

где

• P(N) — это априорная вероятность до того, как станет известно n — то есть полное число людей, которые уже родились к настоящему моменту.
• Константа k выбрана, чтобы нормализовать сумму P(N). Точное её значение здесь не важно, а является просто функциональной формой (это не правильное априорное распределение, так что ни одно значение k не даёт правильного распределения, однако байесовый сдвиг всё равно возможен при его использовании).

Поскольку Готт определил априорное распределение для всех людей P(N) для суммарного числа людей, то теорема Байеса и принцип равнозначности дают нам P(N|n) — то есть вероятность того, что N людей родится, если n является случайной выборкой из N:

${\displaystyle P(N\mid n)={\frac {P(n\mid N)P(N)}{P(n)}}.}$

Это запись теоремы Байеса для апостериорной вероятности того, что полная величина популяции будет N при условии, что текущее значение популяции равно в точности n. Теперь, используя принцип равнозначности, получаем:

${\displaystyle P(n\mid N)={\frac {1}{N}}.}$

Безусловное распределение n текущей популяции идентично неопределенной априорной N функции плотности вероятности[6] то есть:

${\displaystyle P(n)={\frac {k}{n}}.}$

Беря P(N | n) для каждого конкретного N (через подстановку в уравнение постериорной вероятности):

${\displaystyle P(N\mid n)={\frac {n}{N^{2}}}.}$

Наилучший способ получить оценку момента конца света с заданной уверенностью (скажем, 95 %) это предположить, что N — это непрерывная величина (поскольку она очень велика) и проинтегрировать плотность вероятности от N = n до N = Z (это даст нам функцию вероятности того, что N ≤ Z):

${\displaystyle P(N\leq Z\mid n)=\int \limits _{N=n}^{N=Z}P(N|n)\,dN}$ ${\displaystyle ={\frac {Z-n}{Z}}.}$

Определяя Z = 20n, получаем:

${\displaystyle P(N\leq 20n)={\frac {19}{20}}.}$

Это простейшее байесово следствие DA:

Шансы на то, что суммарное число людей, которые когда-либо родятся (N), в 20 раз больше того числа людей, которые уже родились, — менее 5 %

Использование неопределённого изначального распределения выглядит приемлемым, поскольку оно использует минимальное количество знания о возможном значении N, при том что какая-то конкретная функция все равно должна быть выбрана. Это эквивалентно предположению о том, что плотность вероятности чьего-либо относительного положения остаётся равномерно распределённой даже после того, как становится известна его абсолютная позиция (n).

В оригинальной статье 1993 года Готта в качестве референтного класса было выбран не номер рождений, но число лет, которые люди существуют как вид, которые он оценивает как 200 000. Кроме того, Готт пытается дать интервал 95 % уверенности между минимальным и максимальным временем выживания. Поскольку он даёт шансы в 2,5 % на недооценку минимального времени, то только 2,5 % остаётся на переоценку максимального. Это равносильно тому, что вымирание случится с вероятностью 97,5 % до момента, выбранного в качестве верхней границы. 97,5 % — составляет один шанс из 40, что может быть использовано в вышеприведённом интеграле при Z = 40n, и n = 200 000 лет:

${\displaystyle P(N\leq 40[200\,000])={\frac {39}{40}}.}$

Таким образом Готт получает оценку с достоверностью в 97,5 %, что N ≤ 8 000 000 лет. Приводимое им число составляет вероятное оставшееся время N − n = 7,8 миллиона лет. Это гораздо выше, чем временная граница, получаемая при счёте рождений, поскольку здесь принцип равнозначности применяется ко времени. (Получение разных оценок при выборке разных параметров в одной и той же гипотезе известно как парадокс Бертрана (вероятность).)

Его выбор 95 % интервалов уверенности (а не 80 % или 99,9 %, скажем) соответствует научно признанным нормам статистической значимости отвержения гипотез. Таким образом, он утверждает, что гипотеза о том, что «человечество вымрет до 7100 года нашей эры или после 7,8 миллиона лет» должна быть отвергнута.

Ход рассуждений Лесли отличается от версии Готта в том, что он не принимает неопределённого изначального распределения N. Вместо этого он утверждает, что сила DA состоит исключительно в увеличении вероятности более раннего Конца света, когда вы принимаете в расчёт вашу позицию рождения, независимо от вашего априорного распределения вероятности N. Он называет это «сдвигом вероятности».

Хайнц фон Фёрстер утверждает, что человеческая способность создавать сообщества, цивилизации и технологии не приводит к самоостановке. Скорее, успех сообществ зависит от размеров популяции. Модель Фёрстера основанная на 25 точках от рождества Христова до 1958 года даёт отклонение только в 7 % . В нескольких последующих письмах в журнал Science (1961, 1962, …) он показал, что модель продолжает действовать. Данные продолжали соответствовать модели до 1973 года[7] (примерно в этот же год появились первые компьютеры для частных лиц). Наиболее примечательной особенностью модели Фёрстера было предположение о том, что человеческая популяция достигнет бесконечности или математической сингулярности в пятницу 13 ноября 2026 года. См. подробнее Закон гиперболического роста численности населения Земли.

В отношении будущего человеческой цивилизации формула Готта применяется не к времени, а к рангу рождения, поскольку население менялось неравномерно, и более вероятно оказаться в период с высокой плотностью населения. (Однако если применить её к времени существования вида, то ничего невероятного не получится: с вероятностью в 50 % человечество просуществует от 70 тысяч до 600 тысяч лет.) Предполагается, что мы, родившись, произвели акт наблюдения нашей цивилизации в случайный момент времени. При этом мы узнали, что всего за историю человечества было только примерно 100 миллиардов людей. Это значит, что мы, скорее всего, попали в середину отрезка, и значит, что очень вряд ли (с менее 0,1 % вероятности) суммарное число людей будет 100 триллионов. А это значит, что шанс того, что человечество распространится по всей галактике в течение многих тысячелетий, тоже мал.

Часы конца света показывают ожидаемое время до ядерного армагеддона по мнению экспертного совета журнала «Бюллетень учёных атомщиков», а не на основании байесовой модели. Если 12 часов на часах символизируют конец жизни человеческой расы, то время, которое они показывают сейчас (11:58:20 на январь 2020 года) означает, что мы живём среди последнего 1 процента когда-либо родившихся людей (то есть n > 0,99N). Хронологическая версия DA по Ричарду Готту потребует очень высокой априорной вероятности, чтобы преодолеть невероятность в такое особенное, с точки зрения принципа Коперника, время.

Если оценка времени конца света производится согласно этим часам, то есть только один шанс из 100 увидеть, что они показывают столь позднюю дату в человеческой истории, если эта дата выбирается в случайный момент времени в течение истории.

Однако предупреждение учёных из Бюллетеня может быть согласовано с DA следующим образом: часы конца света оценивают по существу близость атомного самоуничтожения, которое было возможно только последние 60 лет.[8] Если конец света требует для своего осуществления ядерного оружия, то тогда референтный класс DA это люди — современники ядерного оружия. В этой модели число людей, живших в момент ядерной бомбардировки Хиросимы и Нагасаки или родившихся после этого момента — это n, число людей, которые когда-либо будут — это N. Применение DA в формулировке Ричарда Готта к этим значениям переменных даёт 50 % шансов апокалипсиса в течение следующих 50 лет.

В этой модели стрелки часов так близки к полуночи, поскольку вероятность конца света становится актуальна только после 1945 года, а это условие применимо к нам, но не к тем, кто жил ранее 11 часов 53 минут по часам метафорического человеческого «дня».

Если ваша жизнь случайным образом взята из числа жизней всех тех, кто жил под тенью бомбы, эта простая модель даёт 95 % шансы вымирания в течение следующих 1000 лет.

Однако, недавнее решение учёных перевести часы вперёд по причине опасностей, создаваемых глобальным потеплением, спутывает это рассуждение[9].

Ник Бостром, рассматривая эффекты наблюдательной селекции, выработал следующее положение, называемое Предположение о собственном местоположении (Self-Sampling Assumption (SSA)): «Вам следует полагать себя случайным наблюдателем из некоторого, соответствующего случаю, референтного класса». Если референтным классом является множество людей, которые когда-либо родились, то это даёт N < 20n с достоверностью 95 % (стандартная форма DA). Однако Бостром предложил применить данную идею к моментам наблюдения, а не к числу наблюдателей. Он формализовал это так[10]:

Сильное предположение о собственном расположении (SSSA): Каждый момент наблюдения должен рассматриваться так, как если бы он был случайным образом выбран из всего множества моментов наблюдения своего референтного класса.

Если минута, в которую вы читаете этот текст, случайным образом выбрана из множества всех минут всех человеческих жизней (с 95 % уверенностью) можно утверждать, что этот момент происходит после первых 5 % человеческих моментов наблюдений. Если в будущем продолжительность жизни будет в два раза больше средней, то это означает с 95 % достоверностью, что N < 10n. (То есть среднестатистический будущий человек должен считаться за два раза большее число моментов наблюдения, чем исторически средний человек.) Следовательно, время до вымирания с 95-процентной достоверностью в этой версии составит 4560 лет.

Если вы согласны со статистическими методами, то несогласие с DA означает истинность следующих утверждений:

1. Мы находимся в числе первых 5 %, которые когда-либо родятся.
2. Это не является чисто случайным совпадением.

Таким образом, эти опровержения стараются доказать, что мы вправе считать себя среди самых ранних в истории людей.

Например, допустим, вы — участник номер 50 000 в неком совместном проекте, то тогда DA утверждает, что с вероятностью в 95 % в этом проекте никогда не будет более чем миллиона членов. Это может быть опровергнуто, если некие другие характеристики позволяют вам считать себя ранним вступившим участником. Большинство обычных пользователей предпочитают вступать в проекты, когда они близки к завершению. Если для вас притягательна незавершённость проекта, мы уже знаем, что вы — необычный участник, до того, как мы обнаруживаем ваше ранее вовлечение.

Если у вас есть измеримые атрибуты, которые отделяют вас от типичного пользователя DA, относящегося к этому проекту, DA может быть отвергнут на основании того факта, что для вас естественно оказаться в числе первых 5 процентов. Аналогия с DA для полной человеческой популяции такова: вера в предсказание вероятностного распределения человеческих характеристик, которое помещает нас и наших предшественников в необычное положение среди всего множества людей (то есть в то, что мы самые ранние), означает, что мы уже знаем, до реального измерения n, что мы, скорее всего, занимаем очень раннюю позицию в N.

Например, если вы уверены, что 99 % людей, которые когда-либо будут жить, будут киборгами, но вы знаете, что вы не киборг, то тогда вы можете быть в той же степени уверены, что по крайней мере в сто раз большему числу людей предстоит родиться, чем их уже родилось.

Статья Робина Хансона суммирует эту критику DA так:

Все не равны друг другу. У нас есть хорошие основания полагать, что мы не являемся случайно выбранными людьми из числа людей, которые когда-либо будут жить.

Апостериорное наблюдение о том, что события вымирания являются редкими, может быть предложено как свидетельство того, что предсказания DA являются неубедительными. Обычно вымирания доминирующего вида случаются реже, чем один раз в миллион лет. Таким образом, отсюда делают вывод, что человеческое вымирание является маловероятным в течение ближайших десяти тысячелетий.

В терминах байесовой логики этот ответ на DA говорит о том, что наше знание истории (или способность предотвращать катастрофы) даёт нам минимальное априорное значение N величиной в триллионы. Например, если N распределено равномерно 10¹² до 10¹³, например, то вероятность того, что N < 1200 миллиардов, предполагаемая на основании n = 60 миллиардов будет крайне малой. Это является вполне достоверным Байесовым вычислением, отвергающим принцип Коперника, на основании того, что мы должны быть «особенными наблюдателями», поскольку нет никаких вероятных способов вымереть для человечества в течение ближайших нескольких тысяч лет.

Это возражение упускает из виду технологические угрозы вымирания людей, которые не угрожали жившим ранее видам живых существ, и отвергается большинством учёных, критикующих DA (возможно, за исключением Робина Хансона).

Фактически, многие футурологи полагают, что эмпирическая ситуация гораздо хуже, чем она предсказывается в DA по Готту. Например, сэр Мартин Рис полагает, что технологические риски дают суммарную оценку рисков гибели человеческой цивилизации в 50 % в XXI веке. Более ранние пророки делали похожие предсказания и «оказались» неправы. Однако возможно, что оценки были верными, и нынешний образ их как алармистов возник в результате действия когнитивного искажения, называемого ошибка выживших.

Робин Хансон утверждает, что изначальная оценка N может быть распределена экспоненциально. В этом случае одна и та же погодовая плотность катастроф, скажем, падений астероидов, будет с каждым годом приходиться на всё большее и большее число людей. Это означает, что вероятность вымирания убывает при росте N. Вычисления показывают, что в этом случае DA тоже работает, но даёт более высокую оценку числа будущих людей. Причём чем быстрее растёт в будущем население, тем менее информативным становится DA:

${\displaystyle N={\frac {e^{U(0,q]}}{c}},}$

где c и q — константы.

Другим возражением на DA является то, что математическое ожидание полного числа людей является актуально бесконечным. Подобным же примером контринтуитивных бесконечных математических ожиданий является Санкт-Петербургский парадокс.

Это даёт следующие вычисления.

Следующим возражением является то, что вероятность того, что вы вообще существуете, зависит от того, сколько людей будет существовать (N). При большем N больше вероятность вашего существования, чем в том случае, если только несколько человек будут когда-либо существовать. Поскольку вы в действительности существуете, это является свидетельством того, что число людей, которые когда-либо будут существовать, является большим.

Это возражение, предложенное изначально Деннисом Диксом (1992), теперь известно под именем, которое ему дал Ник Бостром: «Возражение, основанное на предположении о самообнаружении» («Self-Indication Assumption objection», см. en:Self-Indication Assumption Doomsday argument rebuttal). Может быть показано, что некоторые виды Self-Indication Assumption не дают возможности сделать никаких выводов об N на основании n (текущей популяции).

Джон Истмонд в своей статье «Решение проблемы Doomsday argument с помощью концепции множественности миров» утверждает, что когда DA расширится от своей формы, связанной с единственной исторической хронологической шкалой к той форме, которая имеет дело с множеством непрерывное разветвляющихся историй, предлагаемой многомировой интерпретацией квантовой механики, то тогда выясняется, что эта обобщённая форма DA не делает никаких предсказаний о будущем полном размере человеческой популяции. Говоря более конкретно, если каждое конечное значение полной человеческой популяции реализуется в одном из возможных будущих, то тогда обнаружение нашей текущей позиции не приводит к изменению наших априорных знаний о том, какое именно значение полной популяции мы обнаружим в одном из множества человеческих будущих (предполагая, что мы проживём достаточно долго, чтобы увидеть конец света).

Рассуждение Кейва, основанное на байесовой логике, утверждает, что предположение о равномерном распределении несовместимо с принципом Коперника и не вытекает из него. Он приводит несколько примеров, чтобы доказать, что правило Готта является неприменимым. Например, пишет он, представим, что вы случайно пришли на день рождения человека, о котором вы заранее не знаете ничего.

Вы спрашиваете о возрасте героя торжества и оказывается, что его возраст составляет 50 лет. Согласно Готту, вы можете предсказать с 95 % уверенностью, что этот человек проживёт между [50]/39 = 1,28 годами и 39[×50] = 1950 годами от настоящего момента. Поскольку эта оценка включает в себя разумные интервалы ожидаемой продолжительности жизни этого человека, она может выглядеть не очень плохой, но лишь до того, как вы поймёте, что правило Готта предсказывает с вероятностью в 1/2, что человек проживёт более 100 лет и с вероятностью 1/3 — более 150. Немногие из нас согласились бы сделать ставку на продолжительность жизни этого человека, используя правило Готта. (См. ссылку на статью Кейва во Внешних ссылках внизу).

Однако данный пример выглядит в качестве специально подобранного для опровержения, что не является реальным опровержением для статистических рассуждений. (Например, то, что одна из молекул в газе имеет скорость в 3 км/с, не опровергает того, что средняя скорость молекул в данном газе — 500 м/с.) Кроме того, даваемая им оценка выглядит слабой, только если мы обладаем априорным знанием о реальном распределении в таблицах человеческой смертности.

Без знания возраста человека рассуждения по DA дают следующее правило для превращения возраста в день рождения в максимальную продолжительность жизни с 50 % достоверностью. P(N < 2n) = 50 %. Население на Западе распределено приблизительно равномерно по возрастам, так что возраст в случайный день рождения может быть очень грубо оценен U(0,M], где M — максимальный возраст в выборке. В этой плоской модели средняя продолжительность жизни у всех одинакова, так что 'N = M. Если n оказывается меньше, чем (M)/2, то тогда оценка N по Готту в 2n будет меньше M, то есть будет верной. Во второй половине случаев оценка 2n недооценивает M, и в этом случае, который Кейв как раз и берёт в качестве примера, человек умрёт до того, как его возраст достигнет величины 2n. В этой плоской демографической модели Готтовская 50 % достоверность оказывается верной в 50 % случаях, что и требовалось доказать.

Если модель не плоская, то это не меняет картинку, так как то, что в молодых возрастах будет значительно больше людей, увеличивает шансы случайно попасть на день рождения молодого человека и ровно на столько же снижает оценку средней продолжительности жизни. Но избыток молодых людей означает, что средняя продолжительность жизни меньше максимальной, и сниженная оценка средней продолжительности совпадает с реально меньше средней продолжительностью жизни.

Некоторые философы были настолько смелы, чтобы предположить, что только те люди, которым известен DA, принадлежат к референтному классу людей. Если это действительно правильный референтный класс, то Картер бросил вызов своим собственным предсказаниям, когда впервые описывал DA для членов Королевского общества. Любой из присутствующих членов общества мог бы рассуждать следующим образом:

«В настоящий момент только один человек в мире понимает Doomsday argument, так что согласно его собственной логике, есть шансы в 95 % на то, что это — малозначительная проблема, которая когда-либо заинтересует не более 20 человек, а значит, я могу игнорировать её».

Джеф Дьюанн и профессор Петер Ландсберг предположили, что такой ход рассуждений приводит к парадоксу касательно DA:

Если какой-нибудь из членов общества действительно бы так подумал, это означало бы, что он понимает DA настолько хорошо, что это означало бы, что на самом деле 2 человека его хорошо понимают. И тогда бы это означало, что есть 95 % шансы того, что в реальности этой проблемой заинтересуются 40 человек. Кроме того, игнорировать нечто только потому, что вы считаете, что этим когда-либо заинтересуются не более 40 человек, было бы очень недальновидным — и если бы этот подход был принят, ничего нового никогда не было бы исследовано, если мы примем отсутствие априорных знаний о предмете интересов и механизмов привлечения внимания.

Кроме того, можно подумать о том, что раз Картер действительно выступил с докладом о своей теореме, те люди, которым он её объяснил, обдумали DA, и это было неизбежно, а следовательно, можно объяснить, что в момент объяснения Картер создал основания для своего собственного предсказания.