Теорема о гномоне

Дан параллелограмм ${\displaystyle ABCD}$, на диагонали ${\textstyle AC}$ отмечена точка ${\textstyle P}$. Прямая, параллельная ${\textstyle AB}$ и проходящая через точку ${\textstyle P}$, пересекает сторону ${\textstyle AD}$ в точке ${\textstyle I}$, а сторону ${\textstyle BC}$ — в точке ${\textstyle F}$. Прямая, параллельная ${\textstyle BC}$ и проходящая через точку ${\textstyle P}$, пересекает сторону ${\textstyle AB}$ в точке ${\textstyle H}$, а сторону ${\textstyle CD}$ — в точке ${\textstyle G}$. Теорема о гномоне утверждает, что у параллелограммов ${\textstyle HBFP}$ и ${\textstyle IPGD}$ равная площадь[2].

Гномон — это название L-образной фигуры, в данном примере гномоном является фигура ${\textstyle ADGPFB}$. Параллелограммы равной, согласно теореме, площади, называются «дополнениями» (англ. complements) гномона.

Для доказательства теоремы рассматриваются площадь самого большого параллелограмма (${\displaystyle ABCD}$) и двух внутренних параллелограммов, внутри которых находится диагональ ${\displaystyle AC}$ (это параллелограммы ${\displaystyle AIPH}$ и ${\displaystyle PGCF}$). Во-первых, по свойству параллелограмма диагонали делят параллелограмм на два треугольника равной площади. Во-вторых, разница площади самого большого параллелограмма и двух параллелограммов, внутри которых находится диагональ — это и есть площадь двух дополнений гномона (на рисунке дополнения гномона выделены зелёным и красным)[3]. Отсюда следует:

${\displaystyle |IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|}$

Геометрическое представление деления числа a на b

На данном чертеже выполняется соотношение ${\displaystyle {\tfrac {|AH|}{|HB|}}={\tfrac {|HP|}{|PG|}}}$

Теорема о гномоне используется для того, чтобы построить новый параллелограмм или прямоугольник равной площади с помощью циркуля и линейки. Также она позволяет дать геометрическую интерпретацию деления, что позволяет перевести геометрические задачи в алгебраические. Так, если даны длины двух отрезков, можно построить третий, равный частному данных отрезков. Ещё один способ применения теоремы — разделение отрезка точкой точно в таком же отношении, как разделён данный отрезок (см. чертёж)[2].

Теорема в пространстве. ${\displaystyle \mathbb {A} }$— параллелепипед, ${\displaystyle \mathbb {B,C,D} }$ имеют одинаковый объём.

Аналогичное утверждение может быть сделано в пространстве. В этом случае даётся точка на пространственной диагонали параллелепипеда и вместо двух параллельных прямых появляются три плоскости. Три плоскости разделяют параллелепипед на восемь меньших параллелепипедов, две плоскости находятся рядом с диагональю. Три параллепипеда здесь играют роль дополнений, они имеют равный объём[4].

Теорема о гномоне описана в «Началах» Евклида (приблизительно в 300 год до н. э.), с её помощью в книге доказываются и другие теоремы. Теорема описана под номером 43 в первой книге «Начал», причём Евклид не использовал для описания чертежа термин «гномон» Он будет введён во второй книге «Начал». С помощью гномона Евклид доказывает и другие теоремы, например, №6 в книге II, №29 в книге VI и теоремы 1, 2, 3 и 4 в книге XIII[3][5][6].

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli. Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. — Springer-Verlag, 2016-09-02. — 219 с. — ISBN 9783662530344.
• GEORGE W. EVANS. SOME OF EUCLID'S ALGEBRA // The Mathematics Teacher. — 1927. — Т. 20, вып. 3. — С. 127–141. — ISSN 0025-5769.
• William J. Hazard. Generalizations of the Theorem of Pythagoras and Euclid's Theorem of the Gnomon // The American Mathematical Monthly. — 1929. — Т. 36, вып. 1. — С. 32–34. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2300175.
• Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts: Mathematics and Society. — Springer Science & Business Media, 2010-08-03. — 616 с. — ISBN 9789048185818.

• David E. Joyce Теорема о гномоне mathcs.clarku.edu
• David E. Joyce Определение гномона в «Началах» Евклида mathcs.clarku.edu

1. Цейтен И. Г. История математики в древности и в средние века. — Directmedia, 2014-12-22. — 228 с. — ISBN 9785445815303.
2. Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli. Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. — Springer-Verlag, 2016-09-02. — 219 с. — ISBN 9783662530344.
3. Roger Herz-Fischler. A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Corporation, 2013-12-31. — 228 с. — ISBN 9780486152325.
4. William J. Hazard. Generalizations of the Theorem of Pythagoras and Euclid's Theorem of the Gnomon // The American Mathematical Monthly. — 1929. — Т. 36, вып. 1. — С. 32–34. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2300175.
5. Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts: Mathematics and Society. — Springer Science & Business Media, 2010-08-03. — 616 с. — ISBN 9789048185818.
6. GEORGE W. EVANS. SOME OF EUCLID'S ALGEBRA // The Mathematics Teacher. — 1927. — Т. 20, вып. 3. — С. 127–141. — ISSN 0025-5769.