Теорема об изменении кинетического момента системы

Кинетическим моментом (моментом импульса) механической системы называют величину, равную сумме кинетических моментов (моментов импульса) всех тел, входящих в систему относительно центра приведения. Главный момент внешних сил, действующих на тела системы, — это векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на тела системы относительно центра приведения.

Теорема об изменении кинетического момента системы утверждает[1]:

Производная по времени от кинетического момента системы ${\displaystyle {\vec {L}}_{0}}$ относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно этого центра ${\displaystyle {\vec {M}}^{e}}$:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}^{e}}$.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к главному моменту внешних сил необходимо добавить главные моменты переносных и кориолисовых сил инерции[2].

Для твёрдого тела уравнение ${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}^{e}}$ выражает основной закон динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат с началом в полюсе O закон изменения момента импульса имеет вид: ${\displaystyle {\frac {dL_{x}}{dt}}=M_{x}^{e},{\frac {dL_{y}}{dt}}=M_{y}^{e},{\frac {dL_{z}}{dt}}=M_{z}^{e}}$. Здесь ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z},M_{x}^{e},M_{y}^{e},M_{z}^{e}}$ - моменты импульса системы и главные моменты внешних сил относительно соответствующих осей координат[3].

Уравнение динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки ${\displaystyle O}$, в жёстко связанной с телом подвижной системе координат, начало которой находится в точке ${\displaystyle O}$, имеет вид: ${\displaystyle {\frac {{\tilde {d}}{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}-{\vec {\omega }}\times {\vec {L}}}$. Здесь ${\displaystyle L}$ - момент импульса тела, ${\displaystyle M}$ - главный момент приложенных к телу внешних сил относительно точки ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle \omega }$ - угловая скорость вращения тела, ${\displaystyle {\frac {{\tilde {d}}{\vec {L}}}{dt}}={\frac {dL_{x'}}{dt}}i'+{\frac {dL_{y'}}{dt}}j'+{\frac {dL_{z'}}{dt}}k'}$ - относительная производная по времени от вектора ${\displaystyle {\vec {L}}}$, ${\displaystyle i',j',k'}$ - орты подвижной системы[3].

Если оси подвижной системы координат совпадают с главными осями инерции тела в точке ${\displaystyle O}$, то уравнения движения тела в проекциях на эти оси имеют вид:

${\displaystyle J_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(J_{3}-J_{2})\omega _{2}\omega _{3}=M_{1}}$,

${\displaystyle J_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(J_{1}-J_{3})\omega _{3}\omega _{1}=M_{2}}$,

${\displaystyle J_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(J_{2}-J_{1})\omega _{1}\omega _{2}=M_{3}}$,

где ${\displaystyle J_{1},J_{2},J_{3}}$ - главные моменты инерции тела в точке ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ - проекции вектора угловой скорости тела на главные оси инерции, ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{i}={\frac {d\omega _{i}}{dt}},i=1,2,3}$, ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$ - моменты всех внешних сил относительно тех же осей (динамические уравнения Эйлера)[3].

Пусть система состоит из ${\displaystyle n}$ материальных точек с массами ${\displaystyle m_{i}}$, скоростями ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ и радиус-векторами относительно начала координат ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$. Кинетический момент системы относительно начала координат вычисляется по формуле: ${\displaystyle {\vec {L}}_{0}=\sum _{k=1}^{n}{\vec {r}}_{k}\times m_{k}{\vec {v}}_{k}}$. Найдем производную по времени от этого равенства: ${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{n}({\vec {r}}_{k}\times m_{k}{\vec {v}}_{k})=\sum _{k=1}^{n}{\frac {d}{dt}}({\vec {r}}_{k}\times m_{k}{\vec {v}}_{k})=\sum _{k=1}^{n}{\frac {d{\vec {r}}_{k}}{dt}}\times m_{k}{\vec {v}}_{k}+\sum _{k=1}^{n}{\vec {r}}_{k}\times {\frac {d}{dt}}(m_{k}{\vec {v}}_{k})=\sum _{k=1}^{n}{\vec {r}}_{k}\times {\frac {d}{dt}}(m_{k}{\vec {v}}_{k})}$. Это вытекает из ${\displaystyle {\frac {d{\vec {r}}_{k}}{dt}}\times m_{k}{\vec {v}}_{k}={\vec {v}}_{k}\times m_{k}{\vec {v}}_{k}=0}$, поскольку ${\displaystyle v_{k}m_{k}v_{k}\sin({\vec {v}}_{k},m_{k}{\vec {v}}_{k})=0}$. Пусть к ${\displaystyle k}$ точке системы приложены внешние ${\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{e}}$ и внутренние ${\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{i}}$ силы. Тогда из второго закона Ньютона вытекает: ${\displaystyle {\vec {r}}_{k}\times {\frac {d}{dt}}(m_{k}{\vec {v}}_{k})={\vec {r}}_{k}\times {\vec {F}}_{k}^{e}+{\vec {r}}_{k}\times {\vec {F}}_{k}^{i}}$. Из третьего закона Ньютона следует, что в механической системе сумма моментов внутренних сил равна нулю, так как для пары взаимодействующих точек эти силы направлены по соединяющей их прямой (это существенно), равны по модулю и противоположны по направлению. Приходим к утверждению теоремы: ${\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}_{0}}{dt}}={\vec {M}}_{0}({\vec {F}}^{e})}$.

Из теоремы об изменении кинетического момента системы следует, что если главный момент внешних сил относительно центра равен нулю, то кинетический момент системы относительно того же центра является постоянным по модулю и направлению ${\displaystyle {\vec {L}}_{0}=const}$.

Закон сохранения кинетического момента гласит[4]:

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетического момента системы с идеальными стационарными связями утверждает[5]:

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема о кинетической энергии системы
• Теорема об изменении количества движения системы

• Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И. Теоретическая механика. — М.: ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8 страниц = 560.