Теорема о движении центра масс системы

Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание теоремы о движении центра масс, формулируется следующим образом[1]:

Пусть система состоит из ${\displaystyle N}$ материальных точек с массами ${\displaystyle m_{i}}$ и радиус-векторами ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$. Центром масс (центром инерции) называется[1][3] геометрическая точка, радиус-вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{c}}$ которой удовлетворяет равенству

${\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}},\qquad \qquad }$

где ${\displaystyle M}$ — масса всей системы, равная ${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}.}$

Дифференцируя два раза по времени, для ускорения центра масс ${\displaystyle {\vec {a}}_{c}}$ получаем:

${\displaystyle {\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}},\qquad \qquad }$

где ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$ — ускорение материальной точки с номером i.

Для последующего рассмотрения разделим все силы, действующие на тела системы, на два типа:

• внешние — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$;
• внутренние — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}}$. Соответственно, сила воздействия i-й точки на k-ю точку будет обозначаться ${\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}}$. Для ${\displaystyle i=k}$ будет ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=0.}$

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде

${\displaystyle m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad }$

Просуммировав такие уравнения для всех i, получим:

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad }$

Выражение ${\displaystyle \sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}}$ представляет собой сумму внутренних сил, действующих в системе. Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}}$ соответствует сила ${\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}}$ такая, что ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}}$ и, значит, выполняется ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.}$ Поскольку вся сумма состоит из таких пар, сама сумма равна нулю. Таким образом,

${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \qquad }$

Далее, обозначив ${\displaystyle \sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {F}}}$ и подставив полученное выражение в равенство для ${\displaystyle {\vec {a}}_{c}}$, приходим к уравнению

${\displaystyle {\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,}$ или ${\displaystyle \,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad }$

Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Последняя формула и является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

Вид итоговой формулы для ${\displaystyle {\vec {a}}_{c}}$ в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс[1][3]:

В отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:

В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия материальная точка для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается полученным уравнением для ${\displaystyle {\vec {a}}_{c}}$. Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

Закон сохранения движения центра масс сформулировал Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году. И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно»[4]. Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их»[4].

• Теорема о кинетической энергии системы
• Теорема об изменении количества движения системы