Теорема Фишера для нормальных выборок

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})}$ — независимая выборка из нормального распределения. Пусть ${\displaystyle {\bar {X}}}$ — выборочное среднее, а ${\displaystyle S^{2}}$ — несмещённая выборочная дисперсия. Тогда

• ${\displaystyle {\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\sim \mathrm {N} (0,1)}$
• Случайные величины ${\displaystyle {\bar {X}}}$ и ${\displaystyle S^{2}}$ независимы;
• Случайная величина

${\displaystyle {\frac {(n-1)\cdot S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$

имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle n-1}$ степенями свободы[1].

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки.