Теорема Титце о продолжении

Пусть ${\displaystyle X}$ — нормальное пространство и

${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$

непрерывная вещественнозначная функция, заданная на замкнутом подмножестве ${\displaystyle A\subset X}$. Тогда существует непрерывная функция

${\displaystyle F\colon X\to \mathbb {R} }$,

такая, что ${\displaystyle F(a)=f(a)}$ для всех ${\displaystyle a\in A}$.

Более того, если ${\displaystyle f}$ ограничена, то функция ${\displaystyle F}$ может быть выбрана также ограниченной той же константой.

• Лёйтзен Брауэр и Анри Лебег доказали частный случай теоремы, для конечномерных вещественных векторных пространств.
• Генрих Титце обобщил теорему на случай всех метрических пространств.
• Павел Урысон доказал теорему, как указано здесь, для нормальных топологических пространств.[1][2]

• Эта теорема эквивалентна лемме Урысона.

• Если ${\displaystyle X}$ — метрическое пространство, тогда липшицева функция, определённая на произвольном подмножестве ${\displaystyle X}$, продолжается до липшицевой функции на всё пространство, с той же константой Липшица.

• Теорема Киршбрауна о продолжении