Функциональная отделимость

Два подмножества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ в данном топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ называются функционально отделимыми в ${\displaystyle X}$, если существует такая определенная во всём пространстве вещественная ограниченная непрерывная функция ${\displaystyle f}$, которая принимает во всех точках множества ${\displaystyle A}$ одно значение ${\displaystyle a}$, a во всех точках множества ${\displaystyle B}$ ― некоторое отличное от ${\displaystyle a}$ значение ${\displaystyle b}$. При этом всегда можно предположить, что ${\displaystyle a=0,b=1,0\leqslant f(x)\leqslant 1}$ во всех точках ${\displaystyle x\in X}$.

Пространство, в котором всякая точка функционально отделима от всякого не содержащего её замкнутого множества, называется вполне регулярным.

• Два функционально отделимых множества всегда отделимы и окрестностями. Обратное утверждение верно не всегда, однако имеет место:
  • Лемма Урысона. В нормальном пространстве всякие два дизъюнктные замкнутые множества функционально отделимы.

• Принцип разделимости
• Теорема Титце о продолжении