Теорема Пуанкаре о векторном поле

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

Пусть на гладком замкнутом многообразии $M$ определено гладкое векторное поле $V$ , имеющее конечное число изолированных особых точек $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ . Тогда

\sum _{i=1}^{n}J_{A_{i}}(V)=\chi (M),

здесь $J_{A_{i}}(V)$ — индекс точки $A_{i}$ относительно поля $V$ и число $\chi (M)$ — эйлерова характеристика многообразия $M$ .

История

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году[1].

Вариации и обобщения

Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями[2][3].

Примечания

Двумерный вариант этой теоремы было доказан Пуанкаре в 1885 г. Полностью теорема была доказана Хопфом в 1926 г., вслед за частичными результатами Брауэра и Адамара. // Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972 (стр. 223).
Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa. Vector fields on Singular Varieties. Springer, 2009.
Pavao Mardešić. Index of singularities of real vector fields on singular hypersurfaces. Journal of Singularities, vol 9 (2014), 111-121.

Литература

Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Двумерный вариант этой теоремы было доказан Пуанкаре в 1885 г. Полностью теорема была доказана Хопфом в 1926 г., вслед за частичными результатами Брауэра и Адамара. // Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972 (стр. 223).

[2] Jean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa. Vector fields on Singular Varieties. Springer, 2009.

[3] Pavao Mardešić. Index of singularities of real vector fields on singular hypersurfaces. Journal of Singularities, vol 9 (2014), 111-121.