Теорема Люрота

Теорема. Пусть ${\displaystyle k}$ — поле, а ${\displaystyle k(x)}$ — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое подрасширение расширения ${\displaystyle k(x)/k}$ имеет вид ${\displaystyle k(f)}$ для некоторой рациональной функции ${\displaystyle f}$. Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.

В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть ${\displaystyle k}$ — поле. Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {P} _{k}^{1}\to C}$ — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую ${\displaystyle C}$ над ${\displaystyle k}$. Тогда ${\displaystyle C}$ изоморфна проективной прямой.

Замечания:

• Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть ${\displaystyle k}$ — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и ${\displaystyle L}$ — подрасширение ${\displaystyle k(x,y)/k}$. Тогда ${\displaystyle L}$ совпадает с ${\displaystyle k}$ или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над ${\displaystyle k}$. Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и Сиоды.
• Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.[1]