Теорема Лакса — Мильграма

Пусть

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ является гильбертовым пространством со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,}$ и ассоциированной нормой ${\displaystyle \|\cdot \|}$
• ${\displaystyle a(\cdot \,,\,\cdot )}$ является билинейной формой, которая:
  • непрерывна
  • коэрцитивна в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ (иногда используется термин ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-эллиптичность); то есть, ${\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$
• L является непрерывной линейной формой в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Тогда существует единственный элемент ${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$, такой, что равенство

${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$

выполняется для всех ${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$:

• Гильбертово пространство
• Теорема представлений Рисса