Теорема Каратеодори о продолжении меры

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная (счётно-аддитивная) мера на некотором кольце ${\mathcal {R}}$ подмножеств множества $X$ может быть продлена на σ-кольцо, порожденное кольцом ${\mathcal {R}}$ . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы в частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение

Пусть ${\mathcal {R}}$ — кольцо на множестве $\Omega$ и ${\displaystyle \mu$ — мера на ${\mathcal {R}}$ . Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера $\mu ':\sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]$ , такая, что $\mu '$ является продолжением $\mu$ . (То есть, $\mu '_{|_{R}}=\mu$ ).

Здесь $\sigma ({\mathcal {R}})$ — $\sigma$ -кольцо, порожденное ${\mathcal {R}}$ .

Если мера $\mu$ σ-конечна, то $\mu '$ является единственной и также σ-конечной.

Полукольцо

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семьи подмножеств, удовлетворяющих условиям:

$\varnothing \in S$
Для всех $A,B\in S$ , также $A\cap B\in S$
Для всех $A,B\in S$ , существуют такие попарно непересекающиеся множества $K_{i}\in S$ , где $i=1,2,\ldots ,n$ , что $A\setminus B=\biguplus K_{i}$ .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо порождает кольцо, элементами которого являются:

R(S)=\{A:A=\bigcup _{i=1}^{n}{A_{i}},A_{i}\in S\}

Также мера, заданная на полукольце, распространяется на все кольцо:

\mu (A)=\sum _{p=1}^{n}{\mu (A_{p})}

, где

A=\biguplus _{p=1}^{n}{A_{p}}

,

A_{p}\in S

.

Построение продолжения

Пусть $\mu$ — мера, определенная на кольце ${\mathcal {R}}$ подмножеств множества $\Omega$ .

Тогда можно определить $\mu ^{*}$ — функцию, определенную на $A\in {\mathcal {P}}(\Omega )$ так:

$\mu ^{*}(A)=\mathrm {inf} \{\sum _{k=1}^{+\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{+\infty }E_{k}\}.$

Данная функция является внешней мерой, порожденной мерой $\mu$ . Обозначим ${\mathcal {M}}_{\mu }$ семейство подмножеств $A$ множества $\Omega$ , для которых выполняется: Для всех $E\subset \Omega$ , $\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)$ .

Тогда ${\mathcal {M}}_{\mu }$ является σ-кольцом, и на нем можно определить меру ${\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)$ для всех $A\in {\mathcal {M}}_{\mu }$ . Определенная таким образом функция является мерой, которая совпадает с $\mu$ на множествах кольца ${\mathcal {R}}$ . Также ${\mathcal {M}}_{\mu }$ содержит σ-алгебру $\sigma ({\mathcal {R}})$ и сужение ${\overline {\mu }}$ на элементы $\sigma ({\mathcal {R}})$ и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо ${\mathcal {M}}_{\mu }$ является пополнением кольца $\sigma ({\mathcal {R}})$ , соответственно, они совпадают, если определенная мера на $\sigma ({\mathcal {R}})$ является полной.

Примеры

Если на действительной прямой взять полукольцо ${\mathcal {S}}$ интервалов $[a,b],\quad a<b$ , где мера $[a,b]$ равна (b-a), то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах $\sigma ({\mathcal {S}})$ . Множеству ${\mathcal {M}}_{\mu }$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве $X$ всех рациональных чисел промежутка [0 , 1] можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами [a, b), где a < b — рациональные числа из промежутка [0 , 1]. σ-кольцо, порожденное этим полукольцом, является множеством всех подмножеств $X$ . Задав теперь $\mu (A)$ , равное количеству элементов A и $\mu ^{'}(A)=2\mu (A)$ , имеем, что обе меры совпадают на полукольце и порожденном кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются безграничными, то обе меры на всех этих множествах равны $\infty$ ), но не совпадают на порожденном σ-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература

Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.