Теорема Зайденберга — Тарского

Теорема Зайденберга — Тарского — утверждение о возможности элиминации кванторов в элементарной теории вещественных чисел со сложением и умножением (замкнутых вещественных полей), и как следствие, разрешимости этой теории.

Формулировка

Для всякой формулы в сигнатуре, содержащей двуместные предикаты и , константы и и двуместные операции и , существует бескванторная формула , эквивалентная ей на множестве вещественных чисел .

Замечания
  • Эквивалентное утверждение: полуалгебраичность проекций полуалгебраического множества: так как проекция полуалгебраического множества вдоль одной из осей добавляет в определяющую систему квантор существования, который можно элиминировать, результатом её будет полуалгебраическое множество в ; с другой стороны, полуалгебраичность всякой проекции полуалгебраического множества обеспечивает устранимость квантора существования во всякой формуле, и это является единственным нетривиальным моментом в доказательстве теоремы об элиминации кванторов.
  • Теорема может рассматриваться как далеко идущее обобщение теоремы Штурма[1], в связи с чем фигурирует также как обобщённая теорема Штурма. При таком взгляде, теорема Штурма формулируется[2] как наличие для любого многочлена бескванторной формулы такой, что из аксиом замкнутого вещественного поля следует эквивалентность:
;
формулировка же теоремы Зайденберга — Тарского в этом случае — переход от произвольной бескванторной формулы , ограниченной квантором существования, к бескванторной формуле :
.
Притом если классическое доказательство теоремы Штурма существенно использует техники анализа (в частности, теорему об обращении в нуль непрерывной функции, меняющей знак), то математическая логика даёт сугубо алгебраическое доказательство факта[2].

История

Доказана Тарским в 1948 году в статье по разрешимости теорий элементарной алгебры и элементарной геометрии.[3] В 1954 году Абрахамом Зайденбергом найден более простой и естественный метод доказательства[4][5].

Примечания
  1. Е. А. Горин. Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических функций от нескольких переменных // УМН. — 1961. — Т. 16, № 1(97). — С. 91—118.
  2. Э. Энгелер. Метаматематика элементарной математики. — М.: Мир, 1987. — С. 23—24. — 128 с.
  3. A. Tarski. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. R-109. RAND Corporation (1 августа 1948).
  4. A. Seidenberg. New decision method for elementary algebra (англ.) // Ann. of Math., Ser. 2. — 1954. — Vol. 60. — P. 365—374.
  5. A. Robinson. Review: A. Seidenberg. A new decision method for elementary algebra. Annals of mathematics, ser. 2 vol. 60 (1954), pp. 365-374. // J. Symb. Log. — 1957. — Т. 22, № 3. …This elegantly written paper contains an alternative to Tarski’s decision method for “elementary algebra,” i.e., for sentences formulated in the lower predicate calculus with reference to a real-closed field (XIV 188). Like Tarski’s, the method described here depends on the elimination of quantifiers. In the present instance this amounts to a generalization of Sturm’s theorem as follows…

Литература
  • Н. К. Верещагин, А. Х. Шень. 2. Языки и исчисления // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 101—111.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.