Полуалгебраическое множество

Пусть ${\displaystyle R}$ есть поле вещественных чисел, или, более общо, замкнутое вещественное поле.

Множество ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle R^{n}}$ полуалгебраическое, если оно определяется конечной системой полиномиальных уравнений вида ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})=0}$ и неравенств вида ${\displaystyle Q(x_{1},...,x_{n})>0}$, или любое конечное объединение таких множеств.

• Конечные объединения и пересечения полуалгебраических множеств полуалгебраичны. (То же верно и для алгебраических подмногообразий.)

• Дополнения полуалгебраических множеств снова полуалгебраичны.

• (Теорема Зайденберга — Тарского) Проекция полуалгебраического множества полуалгебраична.

• Полуалгебраическое множество на плотном открытом подмножестве является локально алгебраическим подмногообразием.
  • Размерность полуалгебраического множества определяется как максимальная размерность таких локальных многообразий.

• Экзистенциальная теория вещественных чисел

• Bochnak, J.; Coste, M. & Roy, M.-F. (1998), Real algebraic geometry, Berlin: Springer-Verlag.
• Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. Т. 67: 5–42, doi:10.1007/BF02699126, <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0>.
• van den Dries, L. (1998), Tame topology and o-minimal structures, Cambridge University Press.

• Страница PlanetMath