Теорема Бруна — Тичмарша

Теорема Бруна — Тичмарша — утверждение аналитической теории чисел, определяющее верхнюю границу распределения арифметических прогрессий из простых чисел. Носит имя математиков Вигго Бруна и Эдварда Чарльза Тичмарша.

Теорема утверждает, что если равно числу простых чисел , сравнимых с по модулю при , то:

для всех .

История

Теорема доказана с помощью методов просеивания Монтгомери и Воном в 1973 году[1]. Более ранний результат Бруна и Тичмарша является более слабой версией этого неравенства (с дополнительным множителем ).

Усиления

Если относительно мало, то есть, , то существует граница лучше:

Это показал Мотохаси[2], использовавший билинейную структуру в остаточном члене решета Сельберга (Selberg), открытую им самим. Позднее идея использования структур в остаточном члене решета, благодаря расширениям комбинаторного решета Иванцем (H. Iwaniec), развита до основного метода аналитической теории чисел.

Сравнение с теоремой Дирихле

В отличие от теоремы Бруна — Тичмарша теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии даёт асимптотическую оценку, которую можно выразить в форме:

,

но эта оценка может быть доказана только при более сильных ограничениях на для константы , и это теорема Зигеля — Волфица.

Примечания
  1. Montgomery, Vaughan, 1973.
  2. Motohashi, 1983.

Литература
  • Yoichi Motohashi. Sieve Methods and Prime Number Theory. — Tata IFR and Springer-Verlag, 1983. — ISBN 3-540-12281-8.
  • Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. — Cambridge University Press, 1976. — С. 10. — ISBN 0-521-20915-3.
  • H. Mikawa. Encyclopedia of Mathematics. — Springer. — ISBN 978-1-55608-010-4.
  • H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. The large sieve // Mathematika. — 1973. — Т. 20. — С. 119—134. — doi:10.1112/s0025579300004708.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.