Теорема Александрова о выпуклой функции

Произвольная выпуклая функция

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

дважды дифференцируема почти везде.

• В случае ${\displaystyle n=1}$, теорема следует из того что монотонная функция дифференцируема почти везде.
• Случай ${\displaystyle n=2}$, был доказан Буземаном и Феллером[1].
• Общий случай был доказан Александровым[2].

• Теорема Радемахера

1. H. Busemann and W. Feller, Krümmungseigenschaften konvexer Flächen, Acta Math. 66 (1935), 1—47.
2. A. D. Alexandrov, Almost everywhere existence of the second differential of a convex function and some properties of convex surfaces connected with it, Leningrad State Univ. Annals [Uchenye Zapiski] Math. Ser. 6 (1939), 3—35.