Сферический сегмент

Объём объединения двух сфер радиусов r₁ и r₂ равен [3]

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}}$,

где

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r₁ + r₂ — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h₁ и h₂ приводит к выражению [4][5]

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)}$ .

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ₁ и φ₂ данная площадь равна [6]

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|}$.

${\displaystyle A=8r^{2}(1-\cos(\theta /2))}$.

Например, площадь участка поверхности Земли со сторонами равными 1 градусу: A = 8 * (6 378 км)${\displaystyle ^{2}}$ (1-cos(0,5))= 12391 км${\displaystyle ^{2}}$, 1 квадратная секунда поверхности Земли = 12391 км${\displaystyle ^{2}}$/ (60 * 60) ${\displaystyle ^{2}}$ = 956м${\displaystyle ^{2}}$

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Объём ${\displaystyle n}$-мерного сегмента гиперсферы высотой ${\displaystyle h}$ и радиуса ${\displaystyle r}$ в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве определяется по формуле [7]

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ (гамма-функция) задается выражением ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$.

Выражение для объёма ${\displaystyle V}$ можно переписать в терминах объёма единичного ${\displaystyle n}$-мерного шара ${\displaystyle C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}$ и гипергеометрической функции ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ или регуляризованной неполной бета-функции ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$ как

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$.

Формула для площади поверхности ${\displaystyle A}$ может быть записана в терминах площади поверхности единичного ${\displaystyle n}$-мерного шара ${\displaystyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$ как

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$,

где ${\displaystyle 0\leq h\leq r}$.

Также справедливы следующие формулы[8]: ${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=V_{n}p_{n}(q)}$, где ${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}$,

${\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}$.

При ${\displaystyle n=2k+1:}$

${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}$.

Было показано[9], что при ${\displaystyle n\to \infty }$ и ${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const }}}$ ${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}$, где ${\displaystyle F()}$ — стандартное нормальное распределение.