Существенно особая точка

Изолированная особая точка $z_{0}$ функции $f(z)$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, называется существенно особой, если предел ${\textstyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)}$ не существует.

Критерий существенно особой точки

Точка $z_{0}$ является существенной особой точкой функции $f(z)$ тогда и только тогда, когда в разложении функции $f(z)$ в ряд Лорана в проколотой окрестности точки $z_{0}$ главная часть содержит бесконечное число отличных от нуля членов, то есть в разложении $f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}$ число коэффициентов $f_{k}\neq 0$ , $k<0$ , бесконечно.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Каким бы ни было комплексное число $B$ , для любого $\varepsilon >0$ в любой окрестности существенно особой точки $z_{0}$ найдется точка $z$ , такая, что $|f(z)-B|<\varepsilon$ .

См. также

Другие типы изолированных особых точек:

Литература

Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.