Строго хордальный граф

Строго хордальные графы имеют описание запрещёнными графами как графы, не содержащие пророждённого цикла длиной более трёх или n-солнца (${\displaystyle n\geqslant 3}$) в качестве порождённого подграфа[2][3][4]. n-Солнце — это хордальный граф с 2n вершинами, разделёнными на два подмножества ${\displaystyle U=\{u_{1},u_{2},\dots \}}$ и ${\displaystyle W=\{w_{1},w_{2},\dots \}}$ так, что каждая вершина w_i из W имеет ровно два соседа, u_i и ${\displaystyle u_{(i+1)\mod n}}$. n-Солнце не может быть строго хордальным, поскольку цикл ${\displaystyle u_{1}w_{1}u_{2}w_{2}}$… не имеет нечётных хорд.

Строго хордальные графы могут быть описаны как графы, имеющие строгий совершенный порядок исключения, порядок вершин, такой, что соседи любой вершины, которые идут в порядке позже, образуют клику, и такой, что для любых ${\displaystyle i<j<k<l}$, если i-ая вершина в порядке смежна с k-ой и l-ой вершиной, а j-ая и k-ая вершины смежны, то должны быть смежны и j-ая, и l-ая вершины[3][5].

Граф строго является хордальным тогда и только тогда, когда любой из его порождённых подграфов имеет простую вершину, то есть вершину, соседи которой линейно упорядочены по порядку включения[3][6]. Также граф строго хордален тогда и только тогда, когда он хордален и любой цикл длины пять и более имеет 2-хордовый треугольник, то есть треугольник, образованный двумя хордами и ребром цикла[7].

Граф является строго хордальным тогда и только тогда, когда любой из его порождённых подграфов является двойственно хордальным графом[8].

Строго хордальные графы могут быть описаны в терминах числа полных подграфов, которым ребро принадлежит[9]. Ещё одно описание дано в статье Де Кариа и Макки[10].

Можно определить, является ли граф строго хордальным, за полиномиальное время путём повторяемого поиска и удаления простой вершины. Если этот процесс исключает все вершины графа, граф должен быть строго хордален. В противном случае процесс не находит подграф без простой вершины и в этом случае исходный граф не может быть строго хордален. Для строго хордального графа порядок, в котором вершины удаляются в этом процессе, называется строгим совершенным порядком исключения[3].

Известны альтернативные алгоритмы, которые могут определить, является ли граф строго хордальным и, если да, построить строгий совершенный порядок исключения более эффективно, за время ${\displaystyle O(\min(n^{2},(n+m)\log n))}$ для графа с n вершинами и m рёбрами[11][12][13].

Важным подклассом (основанным на филогении) является класс k-листовых степеней, то есть графов, образованных из листьев дерева путём соединения двух листьев ребром, если расстояние в дереве не превосходит k. Листовая степень — это граф, являющийся k-листовой степенью для некоторого k. Поскольку степени строго хордальных графов строго хордальны и деревья строго хордальны, отсюда следует, что листовые степени строго хордальны. Они образуют собственный подкласс строго хордальных графов, который, в свою очередь, включает кластерные графы как 2-листовые степени[14]. Другим важным подклассом строго хордальных графов являются интервальные графы. В статье Бранштедта, Худта, Манчини и Вагнера[15] показано, что интервальные графы и больший класс корневых ориентированных путей являются листовыми степенями.

Поскольку строго хордальные графы одновременно хордальны и двойственно хордальны, различные NP-полные задачи, такие как задача о независимом множестве, задача о клике, раскраска, задача о кликовом покрытии, доминирующее множество и задача Штейнера о минимальном дереве могут быть решены эффективно для строго хордальных графов. Задача изоморфизма графов GI-полна[16] для строго хордальных графов[17]. Поиск гамильтоновых циклов остаётся для строго хордальных расщепляемых графов NP-полной задачей[18].