Риманова субмерсия
Риманова субмерсия — субмерсия между римановыми многообразиями, которая инфинитезимально является ортогональной проекцией.
Определение
Пусть и — римановы многообразия. Гладкое отображение называется римановой субмерсией, если для любой точки существует изометрическое линейное вложение такое, что есть ортогональная проекция. Здесь обозначает дифференциал отображения в точке .
Для вектора вектор называется горизонтальным поднятием .
Формула О’Нэйла
Пусть — риманова субмерсия. Тогда для любых векторных полей , на , значение тензора кривизны можно вычислить, используя формулу О’Нэйла
- .
где — горизонтальные поднятия полей соответственно, — вертикальная составляющая скобки Ли векторных полей на .
В частности,
- ,
Замечания
- является тензором, то есть его значение в точке зависит только от значений горизонтальных векторов и в этой точке.
Следствия
- Абсолютная величина в точке зависит только от точки и значений и в точке .
- Если тотальное пространство римановой субмерсии имеет секционную кривизну , то то же верно и для его базы.
Вариации и обобщения
- Субметрия — 1-липшицево и 1-колипшицево отображение между метрическими пространствами.
Литература
- Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9.
- Бессе А. Многообразия Эйнштейна. — М.: Мир, 1990. — ISBN 5-03-002066-7., том 2, стр. 326—379.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.