Рациональная поверхность

Любую неособую рациональную поверхность можно получить путём неоднократного раздутия минимальной рациональной поверхности. Минимальными рациональными поверхностями являются проективная плоскость и поверхности Хирцебруха Σ_r для r = 0 или r ≥ 2.

Инварианты: Все плюрироды равны 0 и фундаментальная группа тривиальна.

Ромб Ходжа:

                 1
           0          0
      1        1+n        1,
           0          0
                 1

где n равен 0 для проективной плоскости, 1 для поверхностей Хирцебруха и больше 1 для других рациональных поверхностей.

Группа Пикара является нечётной унимодулярной решёткой I_1,n, за исключением поверхностей Хирцебруха Σ_2m, для которых это чётная унимодулярная решётка II_1,1.

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность, для которой q и P₂ (иррегулярность и второй плюрирод) равны нулю, является рациональной. Это используется в классификации Энрикеса — Кодаиры для распознавания рациональных поверхностей. Зарисский[1] доказал, что теорема Кастельнуово верна также для полей положительной характеристики.

Из теоремы Кастельнуово следует также, что любая унирациональная комплексная поверхность рациональна. Большинство унирациональных комплексных многообразий размерности 3 и выше не являются рациональными. Для характеристики p > 0 Зарисский[1] нашёл пример унирациональных поверхностей (поверхности Зарисского), не являющихся рациональными.

Одно время было неясно, являются комплексные поверхности с нулевыми q и P₁ рациональными или нет, но Федериго Энрикес нашёл контрпример (поверхность Энрикеса).

• Поверхности Бордига: Вложение степени 6 проективной плоскости в P⁴, определённое 10 точками в общем положении.
• Поверхности Шатле
• Поверхности Кобла
• Кубические поверхности. Неособые кубические поверхности изоморфны раздутию проективной плоскости в 6 точках, и являются плоскостями Фано. Существуют именованные примеры — кубика Ферма, кубическая узловая поверхность Кэли и диагональная поверхность Клебша.
• Поверхности дель Пеццо (поверхности Фано)
• Поверхность Эннепера
• Поверхности Хирцебруха Σ_n
• P¹×P¹. Произведение двух проективных прямых является поверхностью Хирцебруха Σ₀.
• Проективная плоскость
• Поверхность Сегре. Пересечение двух квадрик. Поверхность изоморфна проективной плоскости, раздутой в 5 точках.
• Поверхность Штайнера. Поверхность в P⁴ с особенностями, которая бирациональна проективной плоскости.
• Поверхности Вайта, обобщение поверхностей Бордига.
• Поверхность Веронезе. Вложение проективной плоскости в P⁵.

• Список алгебраических поверхностей

• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin: Springer-Verlag. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge). — ISBN 978-3-540-00832-3.
• Arnaud Beauville. Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press, 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-49510-3.
• Oscar Zariski. On Castelnuovo's criterion of rationality p_a = P₂ = 0 of an algebraic surface // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2. — С. 303–315. — ISSN 0019-2082.