Птолемеев граф

Граф является птолемеевым тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

• Расстояния по кратчайшему пути удовлетворяют неравенству Птолемея — для любых четырёх вершин u, v, w и x выполняется неравенство d(u,v)d(w,x) + d(u,x)d(v,w) ≥ d(u,w)d(v,x)[1]. Например, граф-изумруд (3-веер) на рисунке не является птолемеевым, поскольку в этом графе d(u,w)d(v,x) = 4 больше, чем d(u,v)d(w,x) + d(u,x)d(v,w) = 3.
• Для любых перекрывающихся максимальных клик их пересечение является сепаратором, который разделяет разность этих двух клик[2]. Для графа-изумруда на иллюстрации это не так — клики uvy и wxy не разделяются их пересечением y, поскольку существует ребро vw, соединяющее клики.
• Любой цикл с k вершинами имеет по меньшей мере 3(k − 3)/2 диагоналей[2].
• Граф является и хордальным (любой цикл с длиной, превосходящей три, имеет диагональ), и дистанционно-наследуемым (любой связный порождённый подграф имеет те же расстояния, что и весь граф)[2]. Граф-изумруд является хордальным, но не дистанционно-наследуемым — в подграфе, порождённом uvwx, расстояние от u до x равно 3, что больше, чем расстояние между теми же вершинами в полном графе. Поскольку как хордальные, так и дистанционно-наследуемые графы являются совершенными, таковыми же являются и птолемеевы графы [3].
• Граф хордален и не содержит изумрудов — графов, образованных добавлением двух непересекающихся диагоналей в пятиугольник [3].
• Граф является дистанционно-наследуемым и не содержит порождённых 4-циклов[4].
• Граф может быть построен из единственной вершины последовательностью операций, при которых добавляется новая вершина степени 1 (висячая) или дублируется существующая вершина (образуя близняшки или двойняшки), с условием, что операция удвоения, в которой дубликат вершины не смежен своей паре (двойняшки), только если соседи этих удвоенных вершин образуют клику. Эти три операции, если не применять указанное условие, образуют все дистанционно-наследуемые графы. Для образования птолемеевых графов недостаточно использовать образование висячих вершин и близняшек, образование двойняшек (при соблюдении указанных выше условий) тоже иногда требуется[5].
• Диаграмма Хассе подмножества отношений непустого пересечения максимальных клик образует ориентированное дерево[6].
• Выпуклые подмножества вершин (подмножества, содержащие все кратчайшие пути между двумя вершинами в подмножестве) образуют выпуклую геометрию. То есть любое выпуклое множество может быть получено из полного набора вершин последовательным удалением крайних вершин, то есть не принадлежащих какому-либо кратчайшему пути между оставшимися вершинами[7]. В изумруде выпуклое множество uxy не может быть получено таким способом, поскольку ни v, ни w не являются крайними.

Основываясь на описании ориентированными деревьями, птолемеевы графы можно распознать за линейное время[6].

• Hans-Jürgen Bandelt, Henry Martyn Mulder.  Distance-hereditary graphs // Journal of Combinatorial Theory. — 1986. — Vol. 41, no. 2. — P. 182–208. — doi:10.1016/0095-8956(86)90043-2.
• Martin Farber, Robert E. Jamison.  Convexity in graphs and hypergraphs // SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods. — 1986. — Vol. 7, no. 3. — P. 433–444. — doi:10.1137/0607049.
• Edward Howorka.  A characterization of Ptolemaic graphs // Journal of Graph Theory. — 1981. — Vol. 5, no. 3. — P. 323–331. — doi:10.1002/jgt.3190050314.
• David C. Kay, Gary Chartrand.  A characterization of certain ptolemaic graphs // Canadian Journal of Mathematics. — 1965. — Vol. 17. — P. 342–346. — doi:10.4153/CJM-1965-034-0.
• Terry A. McKee.  Clique graph representations of Ptolemaic graphs // Discussiones Mathematicae Graph Theory. — 2010. — Vol. 30, no. 4. — P. 651–661. — doi:10.7151/dmgt.1520.
• Ryuhei Uehara, Yushi Uno.  Laminar structure of Ptolemaic graphs with applications // Discrete Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 157, no. 7. — P. 1533–1543. — doi:10.1016/j.dam.2008.09.006.